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本文题目：高三数学一单元练习题：理科三角函数复习测试题

第一节 角的概念的推广与弧度制

A组

1.点P从(-1,0)出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为________.

解析：由于点P从(-1,0)出发，顺时针方向运动π3弧长到达Q点，如图，因此Q点的坐标为(cos2π3，sin2π3)，即Q(-12，32).答案：(-12，32)

2.设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________.

①tanα2　②sinα2　③cosα2　④cos2α

解析：α为第四象限角，则α2为第二、四象限角，因此tanα2<0恒成立，应填①，其余三个符号可正可负.答案：①

3.若sinα<0且tanα>0，则α是第_______象限的角.

答案：三

4.函数y=|sinx|sinx+cosx|cosx|+|tanx|tanx的值域为________.

解析：当x为第一象限角时，sinx>0，cosx>0，tanx>0，y=3;

当x为第二象限角时，sinx>0，cosx<0，tanx<0，y=-1;

当x为第三象限角时，sinx<0，cosx<0，tanx>0，y=-1;

当x为第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，y=-1.答案：{-1,3}

5.若一个α角的终边上有一点P(-4，a)，且sinα•cosα=34，则a的值为________.

解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P(-4，a)在其终边上且sinα•cosα=34，易得tanα=3或33，则a=-43或-433.答案：-43或-433

6.已知角α的终边上的一点P的坐标为(-3，y)(y≠0)，且sinα=24y，求cosα，tanα的值.

解：因为sinα=24y=y(-3)2+y2，所以y2=5，

当y=5时，cosα=-64，tanα=-153;

当y=-5时，cosα=-64，tanα=153.

B组

1.已知角α的终边过点P(a，|a|)，且a≠0，则sinα的值为________.

解析：当a>0时，点P(a，a)在第一象限，sinα=22;

当a<0时，点P(a，-a)在第二象限，sinα=22.答案：22

2.已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_____.

解析：设扇形的圆心角为α rad，半径为R，则

2R+α•R=612R2•α=2，解得α=1或α=4.答案：1或4

3.如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm，则扇形的面积为________.

解析：S=12|α|r2=12×23π×100=1003π(cm2).答案：1003π cm2

4.若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________.答案：{56°，176°，296°}

5.若α=k•180°+45°(k∈Z)，则α是第________象限.

解析：当k=2m+1(m∈Z)时，α=2m•180°+225°=m•360°+225°，故α为第三象限角;当k=2m(m∈Z)时，α=m•360°+45°，故α为第一象限角.

答案：一或三

6.设角α的终边经过点P(-6a，-8a)(a≠0)，则sinα-cosα的值是________.

解析：∵x=-6a，y=-8a，∴r=(-6a)2+(-8a)2=10|a|，

∴sinα-cosα=yr-xr=-8a+6a10|a|=-a5|a|=±15.答案：±15

7.若点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________.

解析：yx=tan300°=-tan60°=-3.答案：-3

8.已知点P(sin3π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________.

解析：由sin3π4>0，cos3π4<0知角θ在第四象限，∵tanθ=cos3π4sin3π4=-1，θ∈[0,2π)，∴θ=7π4.答案：7π4

9.已知角α的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y=kx上，若sinα=25，且cosα<0，则k的值为________.

解析：设α终边上任一点P(x，y)，且|OP|≠0，∴y=kx，

∴r=x2+(kx)2=1+k2|x|.又sinα>0，cosα<0.∴x<0，y>0，

∴r=-1+k2x，且k<0.∴sinα=yr=kx-1+k2x=-k1+k2，又sinα=25.

∴-k1+k2=25，∴k=-2.答案：-2

10.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.若α=60°，R=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.

解：设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α=60°=π3，R=10，∴l=103π(cm)，

S弓=S扇-S△=12•103π•10-12•102sin60°=50(π3-32)(cm2).

11.扇形AOB的周长为8 cm.

(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小;

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.

解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，

(1)由题意可得2r+l=8，12lr=3，解得r=3，l=2，或r=1l=6，

∴α=lr=23或α=lr=6.

(2)∵2r+l=2r+αr=8，∴r=82+α.∴S扇=12αr2=12α•64(2+α)2=32α+4α+4≤4，

当且仅当α=4α，即α=2时，扇形面积取得最大值4.此时，r=82+2=2 (cm)，

∴|AB|=2×2sin1=4 sin1 (cm).

12.(1)角α的终边上一点P(4t，-3t)(t≠0)，求2sinα+cosα的值;

(2)已知角β的终边在直线y=3x上，用三角函数定义求sinβ的值.

解：(1)根据题意，有x=4t，y=-3t，所以r=(4t)2+(-3t)2=5|t|，

①当t>0时，r=5t，sinα=-35，cosα=45，所以2sinα+cosα=-65+45=-25.

②当t<0时，r=-5t，sinα=-3t-5t=35，cosα=4t-5t=-45，

所以2sinα+cosα=65-45=25.

(2)设P(a，3a)(a≠0)是角β终边y=3x上一点，若a<0，则β是第三象限角，r=-2a，此时sinβ=3a-2a=-32;若a>0，则β是第一象限角，r=2a，

此时sinβ=3a2a=32.

第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式

A组

1.若cosα=-35，α∈(π2，π)，则tanα=________.

解析：cosα=-35，α∈(π2，π)，所以sinα=45，∴tanα=sinαcosα=-43.

答案：-43

2.若sinθ=-45，tanθ>0，则cosθ=________.

解析：由sinθ=-45<0，tanθ>0知，θ是第三象限角，故cosθ=-35.

答案：-35

3.若sin(π6+α)=35，则cos(π3-α)=________.

解析：cos(π3-α)=cos[π2-(π6+α)]=sin(π6+α)=35.答案：35

4.已知sinx=2cosx，则5sinx-cosx2sinx+cosx=______.

解析：∵sinx=2cosx，∴tanx=2，∴5sinx-cosx2sinx+cosx=5tanx-12tanx+1=95.

答案：95

5.(原创题)若cos2θ+cosθ=0，则sin2θ+sinθ=________.

解析：由cos2θ+cosθ=0，得2cos2θ-1+cosθ=0，所以cosθ=-1或cosθ=12，当cosθ=-1时，有sinθ=0，当cosθ=12时，有sinθ=±32.于是sin2θ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0或3或-3.答案：0或3或-3

6.已知sin(π-α)cos(-8π-α)=60169，且α∈(π4，π2)，求cosα，sinα的值.

解：由题意，得2sinαcosα=120169.①又∵sin2α+cos2α=1，②

①+②得：(sinα+cosα)2=289169，②-①得：(sinα-cosα)2=49169.

又∵α∈(π4，π2)，∴sinα>cosα>0，即sinα+cosα>0，sinα-cosα>0，

∴sinα+cosα=1713.③sinα-cosα=713，④

③+④得：sinα=1213.③-④得：cosα=513.

B组

1.已知sinx=2cosx，则sin2x+1=________.

解析：由已知，得tanx=2，所以sin2x+1=2sin2x+cos2x=2sin2x+cos2xsin2x+cos2x=2tan2x+1tan2x+1=95.答案：95

2. cos10π3=________.

解析：cos10π3=cos4π3=-cosπ3=-12.答案：-12

3.已知sinα=35，且α∈(π2，π)，那么sin2αcos2α的值等于________.

解析：cosα=-1-sin2α=-45， sin2αcos2α=2sinαcosαcos2α=2sinαcosα=2×35-45=-32.

答案：-32

4.若tanα=2，则sinα+cosαsinα-cosα+cos2α=_________________.

解析：sinα+cosαsinα-cosα+cos2α=sinα+cosαsinα-cosα+cos2αsin2α+cos2α=tanα+1tanα-1+1tan2α+1=165.答案：165

5.已知tanx=sin(x+π2)，则sinx=___________________.

解析：∵tanx=sin(x+π2)=cosx，∴sinx=cos2x，∴sin2x+sinx-1=0，解得sinx=5-12.答案：5-12

6.若θ∈[0，π)，且cosθ(sinθ+cosθ)=1，则θ=________.

解析：由cosθ(sinθ+cosθ)=1⇒sinθ•cosθ=1-cos2θ=sin2θ⇒sinθ(sinθ-cosθ)=0⇒sinθ=0或sinθ-cosθ=0，又∵θ∈[0，π)，∴θ=0或π4.答案：0或π4

7.已知sin(α+π12)=13，则cos(α+7π12)的值等于________.

解析：由已知，得cos(α+7π12)=cos[(α+π12)+π2]=-sin(α+π12)=-13.

答案：-13

8.若cosα+2sinα=-5，则tanα=________.

解析：由cosα+2sinα=-5，　　　　①sin2α+cos2α=1， ②

将①代入②得(5sinα+2)2=0，∴sinα=-255，cosα=-55，∴tanα=2.

答案：2

9.已知f(α)=sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+3π2)cos(-π-α)，则f(-31π3)的值为________.

解析：∵f(α)=sinα•cosα•cotα-cosα=-cosα，∴f(-313π)=-cosπ3=-12.答案：-12

10.求sin(2nπ+2π3)•cos(nπ+4π3)(n∈Z)的值.

解：(1)当n为奇数时，sin(2nπ+2π3)•cos(nπ+4π3)=sin2π3•cos[(n+1)π+π3]

=sin(π-π3)•cosπ3=sinπ3•cosπ3=32×12=34.

(2)当n为偶数时，sin(2nπ+2π3)•cos(nπ+4π3)=sin2π3•cos4π3=sin(π-π3)•cos(π+π3)=sinπ3•(-cosπ3)=32×(-12)=-34.

11.在△ABC中，若sin(2π-A)=-2sin(π-B)，3cosA=-2cos(π-B)，求△ABC的三内角.

解：由已知，得sinA=2sinB，　　　　①3cosA=2cosB， ②

①2+②2得：2cos2A=1，即cosA=±22.

(1)当cosA=22时，cosB=32，又A、B是三角形内角，∴A=π4，B=π6，∴C=π-(A+B)=712π.(2)当cosA=-22时，cosB=-32.又A、B是三角形内角，∴A=34π，B=56π，不合题意.综上知，A=π4，B=π6，C=712π.

12.已知向量a=(3，1)，向量b=(sinα-m，cosα).

(1)若a∥b，且α∈[0,2π)，将m表示为α的函数，并求m的最小值及相应的α值;(2)若a⊥b，且m=0，求cos(π2-α)•sin(π+2α)cos(π-α)的值.

解：(1)∵a∥b，∴3cosα-1•(sinα-m)=0，∴m=sinα-3cosα=2sin(α-π3).

又∵α∈[0,2π)，∴当sin(α-π3)=-1时，mmin=-2.

此时α-π3=32π，即α=116π.

(2)∵a⊥b，且m=0，∴3sinα+cosα=0.∴tanα=-33.

∴cos(π2-α)•sin(π+2α)cos(π-α)=sinα•(-sin2α)-cosα=tanα•2sinα•cosα

=tanα•2sinα•cosαsin2α+cos2α=tanα•2tanα1+tan2α=12.

第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质

A组

1.已知函数f(x)=sin(x-π2)(x∈R)，下面结论错误的是.

①函数f(x)的最小正周期为2π②函数f(x)在区间[0，π2]上是增函数

③函数f(x)的图象关于直线x=0对称④函数f(x)是奇函数

解析：∵y=sin(x-π2)=-cosx，y=-cosx为偶函数，

∴T=2π，在[0，π2]上是增函数，图象关于y轴对称.答案：④

2.函数y=2cos2(x-π4)-1是________.

①最小正周期为π的奇函数　②最小正周期为π的偶函数　③最小正周期为π2的奇函数　④最小正周期为π2的偶函数

解析：y=2cos2(x-π4)-1=cos(2x-π2)=sin2x，∴T=π，且为奇函数.

答案：①

3.若函数f(x)=(1+3tanx)cosx，0≤x<π2，则f(x)的最大值为________.

解析：f(x)=(1+3•sinxcosx)•cosx=cosx+3sinx=2sin(x+π6)，

∵0≤x<π2，∴π6≤x+π6<2π3，∴当x+π6=π2时，f(x)取得最大值2.答案：2

4.已知函数f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x=π12，则a的值为________.

解析：∵x=π12是对称轴，∴f(0)=f(π6)，即cos0=asinπ3+cosπ3，∴a=33.

答案：33

5.设f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象关于直线x=π3对称，它的最小正周期是π，则f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可).

解析：∵T=2πω=π，∴ω=2，又∵函数的图象关于直线x=π3对称，所以有sin(2×π3+φ)=±1，∴φ=k1π-π6(k1∈Z)，由sin(2x+k1π-π6)=0得2x+k1π-π6=k2π(k2∈Z)，∴x=π12+(k2-k1)π2，当k1=k2时，x=π12，∴f(x)图象的一个对称中心为(π12，0).答案：(π12，0)

6.设函数f(x)=3cos2x+sinxcosx-32.

(1)求函数f(x)的最小正周期T，并求出函数f(x)的单调递增区间;

(2)求在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和.

解：(1)f(x)=32(cos2x+1)+12sin2x-32=32cos2x+12sin2x=sin(2x+π3)，

故T=π.由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)，得kπ-512π≤x≤kπ+π12，

所以单调递增区间为[kπ-512π，kπ+π12](k∈Z).

(2)令f(x)=1，即sin(2x+π3)=1，则2x+π3=2kπ+π2(k∈Z).于是x=kπ+π12(k∈Z)，∵0≤x<3π，且k∈Z，∴k=0,1,2，则π12+(π+π12)+(2π+π12)=13π4.

∴在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和为134π.

B组

1.函数f(x)=sin(23x+π2)+sin23x的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________.

解析：f(x)=cos2x3+sin2x3=2sin(2x3+π4)，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T=2π23=3π，∴T2=3π2.答案：3π2

2.给定性质：a最小正周期为π;b图象关于直线x=π3对称.则下列四个函数中，同时具有性质ab的是________.

①y=sin(x2+π6)　　　　②y=sin(2x+π6) ③y=sin|x| ④y=sin(2x-π6)

解析：④中，∵T=2πω=π，∴ω=2.又2×π3-π6=π2，所以x=π3为对称轴.

答案：④

3.若π4

解析：π41，令tan2x-1=t>0，则y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2(t+1)2-t=-2(t+1t+2)≤-8，故填-8.答案：-8

4.(函数f(x)=sin2x+2cosx在区间[-23π，θ]上的最大值为1，则θ的值是________.

解析：因为f(x)=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2，又其在区间[-2π3，θ]上的最大值为1，可知θ只能取-π2. 答案：-π2

5.若函数f(x)=2sinωx(ω>0)在[-2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________.

解析：由题意，得2π4ω≥2π3，∴0<ω≤34，则ω的最大值为34.答案：34

6.设函数y=2sin(2x+π3)的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈[-π2，0]，则x0=________.

解析：因为图象的对称中心是其与x轴的交点，所以由y=2sin(2x0+π3)=0，x0∈[-π2，0]，得x0=-π6.答案：-π6

7.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x=π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________.

①y=4sin(4x+π6)②y=2sin(2x+π3)+2③y=2sin(4x+π3)+2 ④y=2sin(4x+π6)+2

解析：因为已知函数的最大值为4，最小值为0，所以A+m=4m-A=0，解得A=m=2，又最小正周期为2πω=π2，所以ω=4，又直线x=π3是其图象的一条对称轴，将x=π3代入得sin(4×π3+φ)=±1，所以φ+4π3=kπ+π2(k∈Z)，即φ=kπ-5π6(k∈Z)，当k=1时，φ=π6.答案：④

8.有一种波，其波形为函数y=sinπ2x的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________.

解析：函数y=sinπ2x的周期T=4，若在区间[0，t]上至少出现两个波峰，则t≥54T=5.答案：5

9.已知函数f(x)=3sinωx+cosωx(ω>0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________.

解析：∵y=3sinωx+cosωx=2sin(ωx+π6)，且由函数y=f(x)与直线y=2的两个相邻交点间的距离为π知，函数y=f(x)的周期T=π，∴T=2πω=π，解得ω=2，∴f(x)=2sin(2x+π6).令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z).答案：[kπ-π3，kπ+π6](k∈Z)

10.已知向量a=(2sinωx，cos2ωx)，向量b=(cosωx,23)，其中ω>0，函数f(x)=a•b，若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求f(x)的解析式;(2)若对任意实数x∈[π6，π3]，恒有|f(x)-m|<2成立，求实数m的取值范围.

解：(1)f(x)=a•b=(2sinωx，cos2ωx)•(cosωx,23)=sin2ωx+3(1+cos2ωx)=2sin(2ωx+π3)+3.∵相邻两对称轴的距离为π，∴2π2ω=2π，∴ω=12，

∴f(x)=2sin(x+π3)+3.

(2)∵x∈[π6，π3]，∴x+π3∈[π2，2π3]，∴23≤f(x)≤2+3.又∵|f(x)-m|<2，

∴-2+m

-2+m≤23，2+m≥2+3，解得3≤m≤2+23.

11.设函数f(x)=a•b，其中向量a=(2cosx,1)，b=(cosx，3sin2x+m).

(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间;

(2)当x∈[0，π6]时，f(x)的最大值为4，求m的值.

解：(1)∵f(x)=a•b=2cos2x+3sin2x+m=2sin(2x+π6)+m+1，

∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.

在[0，π]上的单调递增区间为[0，π6]，[2π3，π].

(2)当x∈[0，π6]时，∵f(x)单调递增，∴当x=π6时，f(x)取得最大值为m+3，即m+3=4，解之得m=1，∴m的值为1.

12.已知函数f(x)=3sinωx-2sin2ωx2+m(ω>0)的最小正周期为3π，且当x∈[0，π]时，函数 f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式;(2)在△ABC中，若f(C)=1，且2sin2B=cosB+cos(A-C)，求sinA的值.

解：(1)f(x)=3sinωx+cosωx-1+m=2sin(ωx+π6)-1+m.

依题意，函数f(x)的最小正周期为3π，即2πω=3π，解得ω=23.

∴f(x)=2sin(2x3+π6)-1+m.

当x∈[0，π]时，π6≤2x3+π6≤5π6，12≤sin(2x3+π6)≤1，

∴f(x)的最小值为m.依题意，m=0.∴f(x)=2sin(2x3+π6)-1.

(2)由题意，得f(C)=2sin(2C3+π6)-1=1，∴sin(2C3+π6)=1.

而π6≤2C3+π6≤5π6，∴2C3+π6=π2，解得C=π2.∴A+B=π2.

在Rt△ABC中，∵A+B=π2，2sin2B=cosB+cos(A-C).

∴2cos2A-sinA-sinA=0，解得sinA=-1±52.∵0

第四节 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像

A组

1.已知a是实数，则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是________.

解析：函数的最小正周期为T=2π|a|，∴当|a|>1时，T<2π.当0<|a|<1时，T>2π，观察图形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求.答案：④

2.将函数y=sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y=sin(x-π6)的图象，则φ等于________.

解析：y=sin(x-π6)=sin(x-π6+2π)=sin(x+11π6).答案：11π6

3.将函数f(x)=3sinx-cosx的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________.

解析：因为f(x)=3sinx-cosx=2sin(x-π6)，f(x)的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为5π6.

答案：5π6

4.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，-π<φ<π)，x∈R的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________.

①函数f(x)的最小正周期为π2;

②函数f(x)的振幅为23;

③函数f(x)的一条对称轴方程为x=712π;

④函数f(x)的单调递增区间为[π12，712π];

⑤函数的解析式为f(x)=3sin(2x-23π).

解析：据图象可得：A=3，T2=5π6-π3⇒T=π，故ω=2，又由f(7π12)=3⇒sin(2×7π12+φ)=1，解得φ=2kπ-2π3(k∈Z)，又-π<φ<π，故φ=-2π3，故f(x)=3sin(2x-2π3)，依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x=7π12是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[π12，7π12]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确.答案：③⑤

5.已知函数f(x)=sinωx+cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1+2010)成立，则ω的最小值为________.

解析：显然结论成立只需保证区间[x1，x1+2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，且f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+π4)，则2010≥2πω2⇒ω≥π2010.答案：π2010

6.已知函数f(x)=sin2ωx+3sinωx•sin(ωx+π2)+2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6. (1)求ω;

(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.

解：(1)f(x)=32sin2ωx+12cos2ωx+32=sin(2ωx+π6)+32，

令2ωx+π6=π2，将x=π6代入可得：ω=1.

(2)由(1)得f(x)=sin(2x+π6)+32，

经过题设的变化得到的函数g(x)=sin(12x-π6)+32，

当x=4kπ+43π，k∈Z时，函数取得最大值52.

令2kπ+π2≤12x-π6≤2kπ+32π(k∈Z)，

∴4kπ+4π3≤x≤4kπ+103π(k∈Z).

即x∈[4kπ+4π3，4kπ+103π]，k∈Z为函数的单调递减区间.

B组

1.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，-π≤φ<π)的图象如图所示，则φ=________.

解析：由图可知，T2=2π-34π，

∴T=52π，∴2πω=52π，∴ω=45，

∴y=sin(45x+φ).

又∵sin(45×34π+φ)=-1，

∴sin(35π+φ)=-1，

∴35π+φ=32π+2kπ，k∈Z.

∵-π≤φ<π，∴φ=910π. 答案：910π

2.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ=________.

解析：由图象知T=2(2π3-π6)=π.

∴ω=2πT=2，把点(π6，1)代入，可得2×π6+φ=π2，φ=π6.答案：π6

3.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx的图象，只要将y=f(x)的图象________.

解析：∵f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，

∴2πω=π，故ω=2.

又f(x)=sin(2x+π4)∴g(x)=sin[2(x+π8)+π4]=sin(2x+π2)=cos2x.

答案：向左平移π8个单位长度

4.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ) 的图象如图所示，f(π2)=-23，则f(0)=________.

解析：T2=1112π-712π=π3，∴ω=2πT=3.

又(712π，0)是函数的一个上升段的零点，

∴3×712π+φ=3π2+2kπ(k∈Z)，得φ=-π4+2kπ，k∈Z，

代入f(π2)=-23，得A=223，∴f(0)=23. 答案：23

5.将函数y=sin(2x+π3)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(-π12，0)中心对称.

解析：由y=sin(2x+π3)=sin2(x+π6)可知其函数图象关于点(-π6，0)对称，因此要使平移后的图象关于(-π12，0)对称，只需向右平移π12即可.答案：右　π12

6.定义行列式运算：a1　a2a3　a4=a1a4-a2a3，将函数f(x)=3　cosx1　 sinx的图象向左平移m个单位(m>0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是________.

解析：由题意，知f(x)=3sinx-cosx=2(32sinx-12cosx)=2sin(x-π6)，

其图象向左平移m个单位后变为y=2sin(x-π6+m)，平移后其对称轴为x-π6+m=kπ+π2，k∈Z.若为偶函数，则x=0，所以m=kπ+2π3(k∈Z)，故m的最小值为2π3.答案：2π3

7.若将函数y=tan(ωx+π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y=tan(ωx+π6)的图象重合，则ω的最小值为________.

解析：y=tan(ωx+π4)向右平移π6个单位长度后得到函数解析式y=tan[ω(x-π6)+π4]，即y=tan(ωx+π4-πω6)，显然当π4-πω6=π6+kπ(k∈Z)时，两图象重合，此时ω=12-6k(k∈Z).∵ω>0，∴k=0时，ω的最小值为12.答案：12

8.给出三个命题：①函数y=|sin(2x+π3)|的最小正周期是π2;②函数y=sin(x-3π2)在区间[π，3π2]上单调递增;③x=5π4是函数y=sin(2x+5π6)的图象的一条对称轴.其中真命题的个数是________.

解析：由于函数y=sin(2x+π3)的最小正周期是π，故函数y=|sin(2x+π3)|的最小正周期是π2，①正确;y=sin(x-3π2)=cosx，该函数在[π，3π2)上单调递增， ②正确;当x=5π4时，y=sin(2x+5π6)=sin(5π2+5π6)=sin(π2+5π6)=cos5π6=-32，不等于函数的最值，故x=5π4不是函数y=sin(2x+5π6)的图象的一条对称轴，③不正确.答案：2

9.当0≤x≤1时，不等式sinπx2≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________.

解析：当0≤x≤1时，y=sinπx2的图象如图所示，y=kx的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当k≤0时，y=kx在[0,1]上的图象恒在x轴下方，原不等式成立.

当k>0，kx≤sinπx2时，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可.

故k≤1时，x∈[0,1]上恒有sinπx2≥kx.答案：k≤1

10.设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值;(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y=g(x)的单调增区间.

解：(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+2sinωx•cosωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2=2sin(2ωx+π4)+2，依题意，得2π2ω=2π3，故ω=32.

(2)依题意，得g(x)=2sin[3(x-π2)+π4]+2=2sin(3x-5π4)+2.

由2kπ-π2≤3x-5π4≤2kπ+π2(k∈Z)，解得23kπ+π4≤x≤23kπ+7π12(k∈Z).

故g(x)的单调增区间为[23kπ+π4，23kπ+7π12](k∈Z).

11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M(2π3，-2).

(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈[0，π12]时，求f(x)的最值.

解：(1)由最低点为M(2π3，-2)得 A=2.由T=π得ω=2πT=2ππ=2.

由点M(2π3，-2)在图象上得2sin(4π3+φ)=-2，即sin(4π3+φ)=-1，

∴4π3+φ=2kπ-π2(k∈Z)，即φ=2kπ-11π6，k∈Z.又φ∈(0，π2)，∴φ=π6，

∴f(x)=2sin(2x+π6).

(2)∵x∈[0，π12]，∴2x+π6∈[π6，π3]，∴当2x+π6=π6，即x=0时，f(x)取得最小值1;当2x+π6=π3，即x=π12时，f(x)取得最大值3.

12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<π2.

(1)若cosπ4cosφ-sin3π4sinφ=0，求φ的值;

(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.

解：法一：(1)由cosπ4cosφ-sin3π4sinφ=0得cosπ4cosφ-sinπ4sinφ=0，

即cos(π4+φ)=0.又|φ|<π2，∴φ=π4.

(2)由(1)得，f(x)=sin(ωx+π4).依题意，T2=π3，又T=2πω，故ω=3，

∴f(x)=sin(3x+π4).函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为

g(x)=sin[3(x+m)+π4]，g(x)是偶函数当且仅当3m+π4=kπ+π2(k∈Z)，

即m=kπ3+π12(k∈Z).从而，最小正实数m=π12.

法二：(1)同法一.

(2)由(1)得 ，f(x)=sin(ωx+π4).依题意，T2=π3.又T=2πω，故ω=3，

∴f(x)=sin(3x+π4).

函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+π4].

g(x)是偶函数当且仅当g(-x)=g(x)对x∈R恒成立，

亦即sin(-3x+3m+π4)=sin(3x+3m+π4)对x∈R恒成立.

∴sin(-3x)cos(3m+π4)+cos(-3x)•sin(3m+π4)

=sin3xcos(3m+π4)+cos3xsin(3m+π4)，

即2sin3xcos(3m+π4)=0对x∈R恒成立.∴cos(3m+π4)=0，故3m+π4=kπ+π2(k∈Z)，∴m=kπ3+π12(k∈Z)，从而，最小正实数m=π12.

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