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本文题目：高三数学下学期试题：椭圆及强化训练题

 椭圆但因为测试 新人教B版

1.(文)(2011•东莞模拟)设P是椭圆x225+y216=1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于(　　)

A.4　　 　　 B.5

C.8　　 　　 D.10

[答案]　D

[解析]　∵a2=25，∴a=5，∴|PF1|+|PF2|=2a=10.

(理)(2011•浙江五校联考)椭圆x216+y27=1的左、右焦点分别为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为(　　)

A.32　 　 　 B.1 6

C.8　　 　　 D.4

[答案]　B

[解析]　由题设条件知△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16.

2.(文)(2011•岳阳月考)椭圆x29+y24+k=1的离心率为45，则k的值为(　　)

A.-21 B.21

C.-1925或21 D.1925或21

[答案]　C

[解析]　若a2=9，b2=4+k，则c=5-k，由ca=45即5-k3=45，得k=-1925;若a2=4+k，b2=9，则c=k-5，

由ca=45，即k-54+k=45，解得k=21.

(理)(2011•广东省江门市模拟)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1、B2，焦点为F1、F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则这个椭圆的离心率e等于(　　)

A.22 B.12

C.32 D.以上都不是

[答案]　A

[解析]　画出草图(图略)，根据题意可得e=ca=cos45°=22，故选A.

3.“m>n >0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

[答案]　C

[解析]　∵方程mx2+ny2=1，即x21m+y21n=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴需有：1m>01n>01m<1n，

∴m>n>0，故互为充要条件.

4.(文)(2011•抚顺六校检测)椭圆x24+y2=1的焦点为F1，F2，点M在椭圆上，MF1→•MF2→=0，则M到y轴的距离为(　　)

A.233 B.263

C.33 D.3

[答案]　B

[分析]　条件MF1→•MF2→=0，说明点M在以线段F1F 2为直径的圆上，点M又在椭圆上，通过方程组可求得点M的坐标，即可求出点M到y轴的距离.

[解析]　椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2+y2=3，即y2=3-x2，代入椭圆得x24+3-x2=1，解得x2=83，即|x|=263，此即点M到y轴的距离.

[点评]　满足MF→•MB→=0(其中A，B是平面上两个不同的定点)的动点M的轨迹是以线段AB为直径的圆.

(理)(2011•河北石家庄一模)已知椭圆x216+y225=1的焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若连接F1，F2，P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是(　　)

A.165 B.3

C.163 D.253

[答案]　A

[解析]　F1(0，-3)，F2(0,3)，∵3<4，

∴∠F1F2P=90°或∠F2F1P=90°.

设P(x,3)，代入椭圆方程得x=±165.

即点P到y轴的距离是165.

5.(文)(2011•山东淄博重点中学期中)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆方程为(　　)

A.x2144+y2128=1 B.x236+y220=1

C.x232+y236=1 D.x236+y232=1

[答案]　D

[解析]　2a=12，∴a=6，∵e=ca=13，

∴c=2，∴b2=a2-c2=32，故选D.

(理)(2011•长沙模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C：x2+y2-2x-15=0的半径，则椭圆的标准方程是(　　)

A.x24+y23=1 B.x216+y212=1

C.x24+y2=1 D.x216+y24=1

[答案]　A

[解析]　由x2+y2-2x-15=0得，(x-1)2+y2=16，

∴r=4，∴2a=4，∴a=2，

∵e=ca=12，∴c=1，∴b2=a2-c2=3.故选A.

6.(文)(2011•银川二模)两个正数a、b的等差中项是52 ，等比中项是6，且a>b，则椭圆x2a2+y2b2=1的离心率e等于(　　)

A.32 B.133

C.53 D.13

[答案]　C

[解析]　由题意可知a+b=5a•b=6，又因为a>b，

所以解得a=3b=2，所以椭圆的半焦距为c=5，

所以椭圆的离心率e=ca=53，故选C.

(理)(2011•杭州二检、江西七校联考)如下图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2>a1c2;④c1a1

A.①③ B.②③

C.①④ D.②④

[答案]　B

[解析]　给出图形的题目，要充分利用图形提供的信息解题.

∵P点既在椭圆Ⅰ上，又在椭圆Ⅱ上，且F是椭圆Ⅰ和Ⅱ的同一侧的焦点，∴|PF|=a-c，

即a1-c1=a2-c2，故②正确;

由a1-c1=a2-c2得a1-a2=c1-c2，c1=a1-a2+c2，

∴c1a2-a1c2=(a1-a2+c2)a2-a1c2=(a1-a2)a2+(a2-a1)c2=(a1-a2)(a2-c2)，

又∵从图中可以看出，a1>a2，a2>c2，∴c1a2-a1c2>0，即c1a2>a1c2，故③正确，故选B.

7.(文)(2011•南京模拟)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，若PF1→•PF2→=0，tan∠PF1F2=12，则此椭圆的离心率为________.

[答案]　53

[解析]　∵PF1→•PF2→=0，∴PF1⊥PF2，

在Rt△PF1F2中，tan∠PF1F2=|PF2||PF1|=12，

设|PF2|=x，则|PF1|=2x，

由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，∴x=2a3，

∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴x2+4x2=4c2，

∴209a2=4c2，∴e=ca=53.

(理)已知1m+2n=1(m>0，n>0)，则当mn取得最小值时，椭圆x2m2+y2n2=1的离心率是________.

[答案]　32

[解析]　∵m>0，n>0

∴1=1m+2n≥22mn，

∴mn≥8，当且仅当1m=2n，即n=2m时等号成立，

由n=2mmn=8，解得m=2，n=4.

即当m=2，n=4时，mn取得最小值8，

∴离心率e=n2-m2n =32.

8.(文)已知实数k使函数y=coskx的周期不小于2，则方程x23+y2k=1表示椭圆的概率为________.

[答案]　12

[解析]　由条件2π|k|≥2，∴-π≤k≤π，

当0

∴概率P=12.

(理)(2010•深圳市调研)已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>0，b>0)的面积为πab，M包含于平面区域Ω：|x|≤2|y|≤3内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为π4，则椭圆M的方程为________.

[答案]　x24+y23=1

[解析]　平面区域Ω：|x|≤2|y|≤3是一个矩形区域，如下图所示，

依题意及几何概型，可得πab83=π4，

即ab=23.

因为0

所以a=2，b=3.

所以，椭圆M的方程为x24+y23=1.

9.(2011•湖南长沙一中月考)直线l：x-y=0与椭圆x22+y2=1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为_ _______.

[答案]　2

[解析]　设与l平行的直线方程为x-y+a=0，当此直线与椭圆的切点为C时，△ABC的面积最大，将y=x+a代入x22+y2=0中整理得，3x2+4ax+2(a2-1)=0，由Δ=16a2-24(a2-1)=0得，a=±3，两平行直线x-y=0与x-y+3=0的距离d=62，将y=x代入x22+y2=1中得，x1=-63，x2=63，

∴|AB|=1+1|63-(-63) |=433，

∴S△ABC=12|AB|•d=12×433×62=2.

10.(文)(2010•新课标全国文)设F1、F2分别是椭圆E：x2+y2b2=1(0

(1)求|AB|;

(2)若直线l的斜率为1，求b的值.

[解析]　(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，

又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得|AB|=43.

(2)l的方程为y=x+c，其中c=1-b2.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组

y=x+c，x2+y2b2=1.

化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.

则x1+x2=-2c1+b2，x1x2=1-2b21+b2.

因为直线AB的斜率为1，所以|AB|=2|x2-x1|，

即43=2|x2-x1|.

则89=(x1+x2)2-4x1x2

=41-b21+b22-41-2b21+b2=8b41+b22.

解得b=22.

(理)(2011•北京文，19)已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(-3,2).

(1)求椭圆G的方程;

(2)求△PAB的面积.

[解析]　(1)由已知得，c=22，ca=63，

解得a=23，

又b2=a2-c2=4，

所以椭圆G的方程为x212+y24=1.

(2)设直线l的方程为y=x+m

由y=x+m.x212+y24=1得

4x2+6mx+3m2-12=0. ①

设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1

x0=x1+x22=-3m4，

y0=x0+m=m4.

因为AB是等腰△PAB的底边，

所以PE⊥AB，

所以PE的斜率k=2-m4-3+3m4=-1.

解得m=2，

此时方程①为4x2+12x=0，

解得x1=-3，x2=0，

所以y1=-1，y2=2，所以|AB|=32，

此时，点P(-3,2)到直线AB：x-y+2=0的距离d=|-3-2+2|2=322，

所以△PAB的面积S=12|AB|•d=92.

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