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本文题目：高三数学下学期试题：古典概型与几何概型

古典概型与几何概型但因为测试 新人教B版

1.(2011•浙江文，8)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　　)

A.110　　 　 B.310

C.35　　 　 D.910

[答案]　D

[解析]　3个红球记为a，b，c,2个白球记为1,2.则从袋中取3个球的所有方法是abc，ab1，ab2，ac1，ac2，a12，bc1，bc2，b12，c12.共10个基本事件，则至少有一个白球的基本事件是ab1，ab2，ac1，ac2，a12，bc1，bc2，b12，c12共9个.[来源:Z|xx|k.Com]

∴至少有一个白球的概率为910.故选D.

[点评]　(1)A=“至少有一个白球”的对立事件是B=“全是红球”，故所求概率为P(A)=1-P(B)=1-110=910.

(2)解决这类问题的基本方法就是给小球编号，用列举法写出基本事件空间 (或用计数原理计算基本事件空间中基本事件的个数)，然后数(或求)出所求事件中含的基本事件的个数，再求概率，请再练习下题：

(2011•德州模拟)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是(　　)

A.15 B.310

C.25 D.12

[答案]　C

[解析]　从5个球中任取两个，有C25=10种不同取法，其中两球同色的取法有C23+1=4种，∴P=410=25.

2.(文)(2011•福建文，7)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(　　)

A.14 B.13

C.12 D.23

[答案]　C

[解析] 　本题属于几何概型求 概率问题，设矩形长为a，宽为b，则点Q取自△ABE内部的概率为

P=S△ABES矩形ABCD=12abab=12.

(理)(2010•胶州三中)已知函数f(x)=x2+bx+c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，记函数f(x)满足条件f2≤12f-2≤4的事件为A，则事件A发生的概率为(　　)

A.14 B.58

C.12 D.38

[答案]　C

[解析]　由f2≤12f-2≤4得，2b+c≤8-2b+c≤0，画出0≤b≤4,0≤c≤4表示的平面区域和事件A所表示的平面区域，由几何概型易知，所求概率P=12.

3.(文)有5条长度分别为1、3、5、7、9的线段，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成三角形的概率是(　　)

A.35 B.310

C.25 D.710

[答案]　B

[解析]　构不成三角形的为(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(3,5,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，能构成三角形的有(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)，

∴所求概率为310.

(理)在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是(　　)

A.15 B.14

C.13 D.12

[答案]　C

[解析]　从10个点中任取三个有C310种方法，能构成直角三角形时，必须有两点连线为直径，这样的直径有5条，∴能构成直角三角形5×8=40个，

∴概率P=40C310=13.

4.(文)(2011•北京学普教育中心联考版)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)

A.π12 B.1- π12

C.π6 D.1- π6

[答案]　B

[解析]　以点O为圆心，半径为1的半球的体积为V=12×43πR3=2π3，正方体的体积为23=8，由几何概型知：点P到点O的距离大于1的概率为

P(A)=1-23π8=1-π12，故选B.

(理)已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP-ABC<12VS-ABC的概率是(　　)

A.78 B.34

C.12 D.14

[答案]　A

[解析]　当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P=1-18=78，故选A.

5.(2011•潍坊二检)若在区间[-π2，π2]上随机取一个数x，则cosx的值介于0到12之间的概率为(　　)

A.13 B.2π

C.12 D.23

[答案]　A

[解析]　当-π2≤x≤π2时，由0≤cosx≤12，得-π2≤x≤-π3或π3≤x≤π2，根据几何概型的概率计算公式得所求概率P=π6+π6π=13.

6.(2011•山东临沂)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=(m，n)与向量b=(1，-1)的夹角为α，则α∈(0，π2]的概率为(　　)

A.78 B.1316

C.316 D.712

[答案]　D

[解析]　∵θ∈0，π2，∴cosθ=m-n2•m2+n2≥0，

∴m≥n，满足条件m=n的概率为636=16，

m>n的概率与m

∴m>n的概率为12×1-16=512，

∴满足m≥n的概率为P=16+512=712.

7.(2011•浙江宁波八校联考)已知k∈Z，AB→=(k,1)，AC→=(2,4)，若 |AB→|≤4，则△ABC是直角三角形的概率是________.

[答案]　37

[解析]　∵|AB→|=k2+1≤4，∴-15≤k≤15，

∵k∈Z，∴k=-3，-2，-1,0,1,2,3，

当△ABC为直角三角形时，应有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由AB→•AC→=0得2k+4=0，∴k=-2，

∵BC→=AC→-AB→=(2-k,3)，由AB→•BC→=0得k(2-k)+3=0，∴k=-1或3，

由AC→•BC→=0得2(2-k)+12=0，∴k=8(舍去)，故使△ABC为直角三角形的k值为-2，-1或3，

∴所求概率p=37.

8.(文)(2011•如皋模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m=________.

[答案]　7

[解析]　连续抛掷一枚骰子2次，共有36个基本事件，两次向上的点数之和及次数如表：

和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

次数 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

显然当两次向上的点数之和为7时概率P(A)最大.

(理)(2010•江苏金陵中学)先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.将a，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________.

[答案]　718

[分析]　本题有两点要点：一是构成三角形，须满足较小的两个数的和大于第三个数;二是构成等腰三角形，须有两个数相等.

[解析]　基本事件的总数为6×6=36.

∵三角形的一边长为5，

∴当a=1时，b=5符合题意，有1种情况;

当a=2时，b=5符合题意，有1种情况;

当a=3时，b=3或5符合题意，即有2种情况;

当a=4时，b=4或5符合题意，有2种情况 ;

当a=5时，b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意，即有6种情况;

当a=6时，b=5或6符合题意，即有2种情况.

故满足条件的不同情况共有14种，所求概率为

P=1436=718.

9.(文)从集合{(x，y)|x2+y2≤4，x∈R，y∈R}内任选一个元素(x，y)，则x、y满足x+y≥2的概率为________.

[答案]　π-24π

[解析]　即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型，概率为π-24π.

(理)(2011•黑龙江五校联考)在体积为 V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S-APC的体积大于V3的概率是_____ ___.

[答案]　23

[解析]　由题意可知VS-APCVS-ABC>13，三棱锥S-ABC的高与三棱锥S-APC的高相同.作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM、BN分别为△APC与△ABC的高，所以VS-APCSS-ABC=S△APCS△ABC=PMBN>13，又PMBN=APAB，所以APAB>13，故所求的概率为23(即为长度之比).

10.已知函数f(x)=-x2+ax-b.

(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率;

(2)若a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，求f(1)>0成立的概率.

[解析]　(1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，则基本事件总数为N=5×5=25个.

函数有零点的条件为Δ=a2-4b≥0，即a2≥4b.

因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，

所以事件“a2≥4b”的概率为P=1225，

即函数f(x)有零点的概率为1225.

(2)a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，

f(1)=-1+a-b>0，即a-b>1，

此为几何概型.如图可知，

事件“f(1)>0”的概率为P=12×3×34×4=932.

11.(文)(2011•金华十校联考)在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是(　　)

A.110 B.310

C.25 D.14

[答案]　C

[解析]　从5个小球中随机取出两个小球，基本事件共10个：(1,2)，(1,3)，(1,4)， (1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5 )，(3,4)，(3,5)，(4,5).其中数字之差的绝对值为2的有：(1,3)，(2,4)，(3,5)，数字之差的绝对值为4的有：(1,5)，

故所求概率P=3+110=25.

(理)(2011•威海模拟)某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a、b，则椭圆x2a2+y2b2=1的离心率e>32的概率是(　　)

A.118 B.536

C.16 D.13

[答案]　D

[解析]　当a>b时，e=1-b2a2>32⇒ba<12⇒a>2b，符合a>2b的情况有：当b=1时，有a=3,4,5,6四种情况;

当b=2时，有a=5,6两种情况，总共有6种情况，则概率是636=16.

同理当a32的概率也为16，

综上可知e>32的概率为13.

12.(文)m∈{-2，-1,0,1,2,3}，n∈{-3，-2，-1,0,1,2}，且方程x2m+y2n=1有意义，则方程x2m+y2n=1可表示不同的双曲线的概率为(　　)

A.3625 B.1

C.925 D.1325

[答案]　D

[解析]　由题设知m>0n<0或m<0n>0，

1°m>0n<0时有不同取法3×3=9种.

2°m<0n>0时有不同取法2×2=4种，

∴所求概率P=9+45×5=1325.

(理)从-1、0、1、2这四个数中选出 三个不同的数作为二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有变号零点的概率为(　　)

A.79 B.712

C.59 D.512

[答案]　A

[解析]　首先取a，∵a≠0，∴a的取法有3种，再取b，b的取法有3种，最后取c，c的取法有2种，

∴共组成不同的二次函数3×3×2=18个.

f(x)若有变号零点，不论a>0还是a<0，均应有Δ>0，即b2-4ac>0，∴b2>4ac.

①首先b取0时，a、c须异号，a=-1，则c有2种，a取1或2，则c只能取-1，∴共有4种.

②b=1时，若c=0，则a有2种，若c=-1，a只能取2.

若c=2，则a=-1，共有4种.

③若b=-1，则c 只能取0，有2种.

④若b=2，取a有2种，取c有2种，共有2×2=4种.

综上所述，满足b2>4ac的取法有4+4+2+4=14种，

∴所求概率P=1418=79.

13.(文)在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数，记为m和n，则方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________.

[答案]　12

[解析]　∵方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.

由题意知，在矩形ABCD内任取一点P(m，n)，求P点落在阴影部分的概率，易知直线m=n恰好将矩形平分，

∴p=12.

(理)设集合A={x|x2-3x-10<0，x∈Z}，从集合A中任取两个元素a，b且a•b≠0，则方程x2a+y2b=1表示焦点在x轴上的双曲线的概率为________.

[答案]　15

[解析]　A={x|-2

由条件知，(a，b)的所有可能取法有：(-1,1)，(-1，2)，(-1,3)，(-1,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(1，-1)，(2，-1 )，(3，-1)，(4，-1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共20种，方程x2a+y2b=1表示焦点在x轴上的双曲线，应有a>0，b<0，满足条件的有：(1，-1)，(2，-1)，(3，-1)，(4，-1)共4种，∴所求概率P=420=15.

14.(2011•淄博模拟)对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组 频数 频率

[10,15) 10 0.25

[15,20) 24 n

[20,25) m p

[25,30) 2 0.05

合计 M 1

(1)求出表中M，p及图中a的值;

(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;

(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.

[解析]　(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，10M=0.25，

所以M=40.

因为频数之和为40，所以10+24+m+2=40，m=4.

p=mM=440=0.10.

因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a=2440×5=0.12.

(2)因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，

所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人.

(3)参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=4+2=6人，

设在区间[20,25)内的人为{a1，a2，a3，a4}，在区间[25,30)内的人为{b1，b2}.

则任选2人有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)共15种情况，

而两人都在[25,30)内只能是(b1，b2)一种，所以所求概率为P=1-115=1415.

15.(文)(2011•天津文，15)编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8

得分 15 35 21 28 25 36 18 34

运动员编号 A9[来源:Z_xx_k.Com] A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16

得分 17 26 25 33 22 12 31 38

(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：

区间 [10,20) [20,30) [30,40]

人数

(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人.

①用运动员编号列出所有可能的抽取结果.

②求这2人得分之和大于50的概率.

[解析]　(1)4,6,6.

(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种.

②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种.

所以P(B)=515=13.

(理)(2011•江西文，16)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中 选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，测评为优秀;若3杯选对2杯测评为良好;否测评为合格.假设此人对A和B饮料没有鉴别能力.

(1)求此人被评为优秀的概率;

(2)求此人被评为良好及以上的概率.

[解析]　将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)(235)，(245)，(345)，共有10种

令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则

(1)P(D)=110，

(2)P(E)=35，P(F)=P(D)+P(E)=710.

1.(2011•淮安模拟)在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为________.

[答案]　710

[解析]　5道题中该生会答的3道题记作1,2,3，其余2道题记作m、n，则从中抽取3道题，共有抽法10种：(1,2,3)，(1,2，m)，(1,2，n)，(1,3，m)，(1,3，n)，(1，m，n)，(2,3，m)，(2,3，n)，(2，m，n)，(3，m，n)，其中能使该生及格的有7种，∴P=710.

2.(2011•泉州、广州模拟)图(2)中实线部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________.

[答案]　3

[解析]　设长方体的高为h，则图(2)中虚线围成的矩形长为2+2h，宽为1+2h，面积为(2+2h)(1+2h)，展开图的面积为2+4h;由几何概型的概率公式知2+4h2+2h1+2h=14，得h=3，所以长方体的体积是V=1×3=3.

3.(2011•湘潭模拟)已知集合A={-4，-2,0,1,3,5}，B={(x，y)|x∈A，y∈A}，在集合B中随机取点M.求：

(1)点M正好在第二象限的概率;

(2)点M不在x轴上的概率;

(3)点M正好落在区域x+y-8<0，x>0，y>0上的概率.

[解析]　满足条件的M点共有36个.

(1)正好在第二象限的点有(-4,1)，(-4,3)，(-4,5)，(-2,1)，(-2,3)，(-2,5)，

故点M正好在第二象限的概率

P1=636=16.

(2)在x轴上的点有(-4,0)，(-2,0)，(0,0)，(1,0)，(3,0)，(5,0)，

故点M不在x轴上的概率

P2=1-636=56.

(3)在所给区域内的点有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(5,1)，

故点M在所给区域上的概率

P3=636=16.

4.(2011•龙岩质检)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x;小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.

(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个?试求点(x，y)落在直线x+y=7上的概率;

(2)规定：若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢.试问这个规定公平吗?请说明理由.

[解析]　(1)因为x、y可取1、2、3、4、5、6，

故以(x，y)为坐标的点共有36个.

记“点(x，y)落在直线x+y=7上”为事件A，

则事件A包含的点有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6个，所以事件A的概率P(A)=636=16.

(2)记“x+y≥10”为事件A1，

“x+y≤4”为事件A2.

用数对(x，y)表示x、y的取值，则事件A1包含(4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,4)、(6,5)、(6,6)，共6个数对;事件A2包含(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)，共6个数对.

由(1)知基本事件总数为36，所以事件A1的概率P(A1)=636=16，事件A2的概率P(A2)=636=16.

即小王和小李两位同学赢的可能性是均等的.

所以这个规定是公平的.

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