(Ⅲ)在线段 上是否存在点N，使得 ?若存在，请求出 的值;若不存在，请说明理由.

19. (本小题满分12分)

阅读下面材料：

根据两角和与差的正弦公式，有

------①

------②

由①+② 得 ------③

令 有

代入③得 .

(Ⅰ)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

;

(Ⅱ)若 的三个内角 满足 ,试判断 的形状.

(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

20. (本小题满分12分)

2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别 PM2.5浓度

(微克/立方米) 频数(天) 频率

第一组 (0,25] 5 0.25

第二组 (25,50] 10 0.5

第三组 (50,75] 3 0.15

第四组 (75,100) 2 0.1

(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;

(Ⅱ)求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由.

21. (本小题满分12分)

平面内动点 到点 的距离等于它到直线 的距离，记点 的轨迹为曲线 .

(Ⅰ)求曲线 的方程;

(Ⅱ)若点 ， ， 是 上的不同三点，且满足 .证明： 不可能为直角三角形.

22. (本小题满分14分)

已知函数 的图象在点 处的切线斜率为 .

(Ⅰ)求实数 的值;

(Ⅱ)判断方程 根的个数，证明你的结论;

(Ⅲ)探究：是否存在这样的点 ，使得曲线 在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧?若存在，求出点A的坐标;若不存在，说明理由.

2012年福建省普通高中毕业班质量检查

文科数学试题参考解答及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分60分.

1. B 2.B 3.C 4.B 5.D 6.B

7. D 8.A 9.D 10.C 11.C 12.B

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分.

13.1 ;14. ; 15.2; 16.①.

三、解答题：本大题共6小题，共74分i解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.满分12分.

(Ⅰ)解：由已知得 ，……………………………2分

又 成等比数列，所以 ，………………………4分

解得 ， ……………………………5分

所以 . ……………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ，……………………………8分

所以

. ……………12分

18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想.满分12分.

解：(Ⅰ)∵平面 ， ，

∴ ， ……………………………2分

又∵ ，∴ . ……………………………4分

(Ⅱ)(1)在 .

.

在 .

∴ . ……………………………6分

(2)，在 ，过点 做 于 ，∴ .

， ……………………………7分

∴ . ……………………………8分

(Ⅲ)在线段 上存在点N，使得 ，理由如下：

(2)在 中， ，

∴ ， ………………………………………9分

过点E做 交 于点N，则 ，

∵ ， ……………………………10分

又 ， ， ，

又 ，∴ .

∴在线段 上存在点N，使得 ，此时 .…………………12分

19.本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分.

解法一：(Ⅰ)因为 ， ①

， ②………………………2分

①-② 得 . ③……………3分

令 有 ，

代入③得 . …………………6分

(Ⅱ)由二倍角公式, 可化为

,……………………………8分

即 .……………………………………………9分

设 的三个内角A,B,C所对的边分别为 ，

由正弦定理可得 .…………………………………………11分

根据勾股定理的逆定理知 为直角三角形.…………………………12分

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, 可化为

，………………………8分