2014高三数学试题下学期

高三数学试题下学期一、选择题(每小题5分，共25分)

1.下列各式中对x∈R都成立的是(　　).

A.lg(x2+1)≥lg(2x)     B.x2+1>2x

C.1x2+1≤1       D.x+1x≥2

解析　A、D中x必须大于0，故A、D排除，B中应x2+1≥ 2x，故B不正确.

答案　C

2.用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是(　　).

A.a，b都不能被5整除

B.a，b都能被5整除

C.a，b中有一个不能被5整除

D.a，b中有一个能被5整除

解析　由反证法的定义得，反设即否定结论.

答案　A

3.(2011•福州调研)下列命题中的假命题是(　　).

A.三角形中至少有一个内角不小于60°

B.四面体的三组对棱都是异面直线

C.闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点

D.设a，b∈Z，若a+b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数

解析　a+b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误.

答案　D

4.命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立(　　).

A. 不成立  B.成立  C.不能断定  D.能断定

解析　∵Sn=2n2-3n，

∴Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)(n≥2)，

∴an=Sn-Sn-1=4n-5(n=1 时，a1=S1=-1符合上式).

又∵an+1-an=4(n≥1)，

∴{an}是等差数列.

答案　B

5.设a、b、c均为正实数，则三个数a+1b、b+1c、c+1a(　　).

A.都大于2  B.都小于2

C .至少有一个不大于2  D.至少有一个不小于2

解析　∵a>0，b>0，c>0，

∴a+1b+b+1c+c+1a=a+1a+b+1b+

c+1c≥6，

当且仅当a=b=c=1时，“=”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.

答案　D

二、填空题(每小题4分，共12分)

6.用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，假设应该是_______________________________________ _______.

解析　用反证法证明命题时，假设结论不成立，即否定命题的结论.

答案　三角形的三个内角都大于60°

7.要证明“3+7<25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号).

①反证法，②分析法，③综合法.

答案　②

8.(2011•韶关模拟)下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使ba+ab≥2成立的条件的个数是________.

解析　要使ba+ab≥2，只要ba>0且ab>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个.

答案　3

三、解答题(共23分)

9.(11分)设a>0，b>0，a+b=1，求证：1a+1b+1ab≥8.

证明　∵a+b=1，

∴1a+1b+1ab=a+ba+a+bb+a+bab

=1+ba+1+ab+a+bab≥2+2ba•ab+a+ba+b22

=2+2+4=8，当且仅当a=b=12时 等号成立.

10.(12分)已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：|a|+|b||a+b|≤2.

证明　a⊥b   a•b=0，

要证|a|+|b||a+b|≤2.

只需证|a|+|b|≤2|a+b|，

只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2a•b+b2)，

只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2，

只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0，

即(|a|-|b|)2≥0，

上式显然成立，故原不等式得证.

B级　综合创新备选

(时间：30分钟　满分：40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1.已知函数f(x)=12x，a，b是正实数，A=fa+b2，B=f(ab)，C=f2aba+b，则A、B、C的大小关系为(　　).

A.A≤B≤C     B.A≤C≤B

C.B≤C≤A     D.C≤B≤A

解析　∵a+b2≥ab≥2aba+b，

又f(x)=12x在R上是减函数.

∴fa+b2≤f(ab)≤f2aba+b.

答案　A

2.定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：

①1](　　).

A.n  B.n+1  C.n-1  D.n2

解析　由(n+1)*1=n*1+1，得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=…=1]

答案　A

二、填空题(每小题4分，共8分)

3.如果aa+bb>ab+ba，则a、b应满足的条件是________.

解析　首先a≥0，b≥0且a与b不同为0.

要使aa+bb>ab+ba，只需(aa+bb)2>(ab+ba)2，即a3+b3>a2b+ab2，只需(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)，只需a2-ab+b2>ab，即(a-b)2>0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b.

答案　a≥0，b≥0且a≠b

4.设x，y，z是空间的不同直线或 不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号).

①x为直线，y，z为平面;②x，y，z为平面;③x，y为直线，z为平面;④x，y为平面，z为直线;⑤x，y，z为直线.

解析　①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，

∴x∥平面y或x⊂平面y.

又∵x⊄平面y，故x∥y成立.

②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立.

③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立.

④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立.

⑤x，y，z均为直 线，x，y可平行、异面、相交，故⑤不成立.

答案　①③④

三、解答题(共 22分)

5.(10分)若a、b、c是不全相等的正数，求证：

lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lg a+lg b+lg  c.

证明　∵a，b，c∈(0，+∞)，

∴a+b2≥ab>0，b+c2≥bc>0，a+c2≥ab>0.

又上述三个不等式中等号不能同时成立.

∴a+b2•b+c2•c+a2>abc成 立.

上式两边同时取常用对数，

得lga+b2•b+c2•c+a2>lg(abc)，

∴lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lg a+lg b+lg c.

6.(12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)=0，且 0

(1)证明：1a是f(x)=0的一个根;

(2)试比较1a与c 的大小;

(3)证明：-2

(1)证明　∵f(x )的图象与x轴有两个不同的交点，

∴f(x)=0有两个不等实根x1，x2，

∵f(c)=0，∴x1=c是f(x)=0的根，

又x1x2=ca，∴x2=1a1a≠c，

∴1a是f(x)=0的一个根.

(2)解　假设1a

由0

知f1a>0与f1a=0矛盾，∴1a≥c，

又∵1a≠c，∴1a>c.

(3)证明　由f(c)=0，得ac+b+1=0，

∴b=-1-ac.

又a>0，c>0，∴b<-1.

二次函数f(x)的图象的对称轴方程为

x=-b2a=x1+x22

即-b2a<1a.又a>0，

∴b>-2，∴-2

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