高三数学解三角形练习题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.已知α是第一象限角，tan α=34，则sin α等于(　　)

A.45           B.35            C.-45             D.-35

解析　B　由2kπ<α<π2+2kπk∈Z，sin αcos α=34，sin2α+cos2α=1，得sin α=35.

2.在△ABC中，已知sin(A-B)cos B+cos(A-B)sin B≥1，则△ABC是(　　)

A.直角 三角形   B.锐角三角形

C.钝角三角形   D.等边三角形

解析　A　sin(A-B)cos B+cos(A-B)sin B=sin[(A-B)+B]=sin A≥1，

又sin A≤1，∴sin A=1，A=90°，故△ABC为直角三角形.

3.在△ABC中，∠A=60°，AC=16，面积为2203，那么BC的长度为(　　)

A.25        B.51     C.493      D.49

解析　D　由S△ABC=12•AB•ACsin 60°=43AB=2203，得AB=55，再由余弦定理，

有BC2=162+552-2×16×55×cos 60°=2 401，得BC=49.

4.设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是(　　)

A.sin(α+β)>sin α+sin β          B.cos(α+β)>cos αcos β

C.sin(α+β)>sin(α-β)            D.cos(α+β)>cos(α-β)

解析　C　∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，

又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β>0，故sin(α+β)>sin(α-β).

5.张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电

视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东

75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是(　　)

A.22 km       B.32 km       C.33 km    D.23 km

解析　B　如图，由条件知AB=24×1560=6 .在△ABS中，∠BAS=30°，

AB=6，∠ABS=180°-75°=105°，所以∠ASB=45°.

由正弦定理知BSsin 30°=ABsin 45°，

所以BS=ABsin 30°sin 45°=32.故选B.

 (2011•威海一模)若函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，

直线x=π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是(　　)

A.y=4sin4x+π6   B.y=2sin2x+π3+2

C.y=2sin4x+π3 +2   D.y=2sin4x+π6+2

解析　D　∵A+m=4，-A+m=0，∴A=2，m=2.

∵T=π2，∴ω=2πT=4.∴y=2sin(4x+φ)+2.

∵x=π3是其对称轴，∴sin4×π3+φ=±1.

∴4π3+φ=π2+kπ(k∈Z).∴φ =kπ-5π6(k∈Z).

当k=1时，φ=π6，故选D.

7.函数y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是(　　)

A.0         B.π4           C.π2           D.π

解析　C　当φ=π2时，y=sin2x+π2=c os 2x，而y=cos 2x是偶函数.

8.在△ABC中“cos A+sin A=cos B+sin B”是“C=90°”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

解析　B　C=90°时，A与B互余，sin A=cos B，cos A=sin B，有cos A+sin A=cos B+sin B成立;但当A=B时，也有cos A+sin A=cos B+sin B成立，故“cos A+sin A=cos B+sin B”是“C=90°”的必要不充分条件.

9.△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b2=ac,2b=a+c，则此三角形是(　　)

A.钝角三角形   B.直角三角形

C.等腰直角三角形   D.等边三角形

解析　D　∵2b=a+c，∴4b2=(a+c)2，

又∵b2=ac，∴(a-c)2=0，∴a=c，∴2b=a+c=2a，

∴b=a，即a=b=c.

10.f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)在x=1处取最大值，则(　　)

A.f(x-1)一定是奇函数   B.f(x-1)一定是偶函数

C.f(x+1)一定是奇函数   D.f(x+1)一定是偶函数

解析　D　∵f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)在x=1处取最大值，∴f(x+1)在x=0处取最大值，即y轴是函数f(x+1)的对称轴，∴函数f(x+1)是偶函数.

11.函数y=sin2x-π3在区间-π2，π上的简图是(　　)

解析　A　令x=0得y=sin-π3=-32，排除B，D.由f-π3=0，fπ6=0，排除C.

12.若tan α=lg(10a)，tan β=lg1a，且α+β=π4，则实数a的值为(　　)

A.1       B.110           C.1或110      D.1或10

解析　C　tan(α+β)=1⇒tan α+tan β1-tan αtanβ=lg10a+lg1a1-lg10a•lg1a=1⇒lg2a+lg a=0，

所以lg a=0或lg a=-1，即a=1或110.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.(2011•黄冈模拟)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所

示，fπ2=-23，则f(0)=________.

解析　由图象可得最小正周期为2π3.   所以f(0)=f2π3，注意到2π3与π2关于7π12对称，

故f2π3=-fπ2=23.

【答案】　23

14.设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边，sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，且

满足ab=4，则△ABC的面积 为________.

解析　由sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，得a2+b2-ab=c2，∴2cos C=1.∴C=60°.

又∵ab=4，∴S△ABC=12absin C=12×4×sin 60°=3.

【答案】　3

15.在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个 照明光源，射向地面的光呈圆形，且其

轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的

高度为________m.

解析　轴截面如图，则光源高度h=15tan 60°=53(m).

【答案】　53

16. 如图所示，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为αi(i=1,2,3)，则cosα13cosα2+α33-sinα13sinα2+α33=________.

解析　记相应的三个圆的圆心分别是O1，O2，O3，半径为r，依题意知，可考虑特殊情

形，从而求得相应的值.当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时，易知

有α1=α2=α3=2π-2π3=4π3，此时cosα13cosα2+α33-sinα13sinα2+α33

=cosα1+α2+α33=cos4π3=cosπ+π3=-cosπ3=-12.

【答案】　-12

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)在△ABC中，如果lg a-lg c=lg sin B=lg22，且B为锐角，试判断此三角形的形状.

解析　∵lg sin B=lg22，∴sin B=22，

∵B为锐角，∴B=45°.

又∵lg a-lg c=lg22，∴ac=22.

由正弦定理，得sin Asin C=22，

∴2sin C=2sin A=2sin(135°-C)，

即sin C=sin C+cos C，∴cos C=0，∴C=90°，

故△ABC为等腰直角三角形.

18.(12分)已知函数f(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx+1(x∈R，ω>0)的最小正周期是π2.

(1)求ω 的值;

(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合.

解析　(1)f(x)=1+cos 2ωx+sin 2ωx+1

=sin 2ωx+cos 2ωx+2

=2sin2ωx+π4+2.

由题设，函数f(x)的最小正周期是π2，可得2π2ω=π2，

所以ω=2.

(2)由(1)知，f(x)=2sin4x+π4+2.

当4x+π4=π2+2kπ(k∈Z)，即x=π16+kπ2(k∈Z)时，

sin4x+π4取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是2+2，此时x的集合为xx=π16+kπ2，k∈Z.

19.(12分)在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Aa=3cos Cc.

(1)求角C的大小;

(2)如果a+b=6，CA→•CB→=4，求c的值.

解析　(1)因为asin A=csin C，sin Aa=3cos Cc，

所以sin C=3cos C.所以tan C=3.

因为C∈(0，π)，所以C=π3.

(2)因为CA→•CB→=|CA→|•|CB→|cos C=12ab=4，

所以ab=8.因为a+b=6，根据余弦定理，得

c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=12.

所以c的值为23.

20.(12分)在△ABC中，a， b，c分别是角A，B，C的对边，m=(2b-c，cos C)，n=(a，cos A)，且m∥n.

(1)求角A的大小;

(2)求y=2sin2B+cosπ3-2B的值域.

解析　(1)由m∥n得(2b-c)•cos A-acos C=0.

由正弦定理得2sin Bcos A-sin Ccos A-sin Acos C=0.

所以2sin Bcos A-sin(A+C)=0，

即2sin Bcos A-sin B=0.

因为A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，cos A=12，

所以A =π3.

(2)y=2sin2B+cosπ3cos 2B+sinπ3sin 2B

=1-12cos 2B+32sin 2B

=sin2B-π6+1.

由(1)得0

所以sin2B-π6∈-12，1，所以y∈12，2.

21.(12分)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)的图象过点π8，-1.

(1)求φ;

(2)求函数y=f(x)的周期和单调增区间;

(3)画出函数y=f(x)在区间[0，π]上的图象.

解析　(1)∵f(x)=sin(2x+φ)的图象过点π8，-1，

∴-1=sinπ4+φ，∴φ+π4=2kπ-π2(k∈Z)，

又φ∈(-π，0)，∴φ=-3π4.∴f(x)=sin2x-3π4.

高三数学解三角形练习(2)由题意，T=2π2=π，由(1)知f(x)=sin2x-3π4，

由2kπ-π2≤2x-3π4≤2kπ+π2(k∈Z)得增区间为kπ+π8，kπ+5π8(k∈Z).

(3)f(x)在[0，π]上的图象如图：

22.(12分)已知sinα-π4=35，π4<α<3π4.

(1)求cosα-π4的值;

(2)求sin α的值.

解析　(1)∵sinα-π4=35，且π4<α<3π4，

∴0<α-π4<π2，∴cosα-π4= 45.

(2)sin α=sinα-π4+π4=sinα-π4cosπ4+cosα-π4sinπ4=7210.

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