高三数学解析几何练习题

高三数学解析几何练习一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=1上，则D与E的关系是(　　)

A.D+E=2   B.D+E=1

C.D+E=-1    D.D+E=-2[来X k b 1 . c o m

解析　D　依题意得，圆心-D2，-E2在直线x+y=1上，因此有-D2-E2=1，即D+E=-2.

2.以线段AB：x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(　　)

A.(x+1)2+(y+1)2=2  　 B.(x-1)2+(y-1)2=2

C.(x+1)2+(y+1)2=8  　 D.(x-1)2+(y-1)2=8

解析　B　直径的两端点为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

3.已知F1、F2是椭圆x24+y2=1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|•|PF2|取最大值的点P为(　　)

A.(-2,0)        B.(0,1)       C.(2,0)      D.(0,1)和(0，-1)

解析　D　由椭圆定义，|PF1|+|PF2|=2a=4，∴|PF1|•|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=4，

当且仅当|PF1|=|PF2|，即P(0，-1)或(0,1)时，取“=”.

4.已知椭圆x216 +y225=1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是(　　)

A.165           B.3          C.163          D.253

解析　A　椭圆x216+y225=1的焦点分别为F1(0，-3)、F2(0,3)，易得∠F1PF2<π2，∴∠PF1F2=π2或∠PF2F1=π2，点P到y轴的距离d= |xp|，又|yp|=3，x2p16+y2p25=1，解得|xP|=165，故选A.

5.若曲线y=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为(　　)

A.4x+y+4=0   B.x-4y-4=0

C.4x-y-12=0   D.4x-y-4=0

解析　D　设切点为(x0，y0)，则y′|x=x0=2x0，  ∴2x0=4，即x0=2，

∴切点为(2,4)，方程为y-4=4(x-2)， 即4x-y-4=0.

6.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)

A.充分不必要条件          B.必要不充分条件

C.充要条件                 D.既不充分也不必要条件

解析　C　方程可化为x21m+y21n=1，若焦点在y轴上，则1n>1m>0，即m>n>0.

7.设双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为(　　)

A.54             B.5          C.52          D.5

解析　D　双曲线的渐近线为y=±bax，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点

即可由y=x2+1，y=bax，得x2-bax+1=0.

∴Δ=b2a2-4=0，即b2=4a2，∴e=5.

8.P为椭圆x24+y23=1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2=60°，则PF1→•PF2→=(　　)

A.3   B.3

C.23   D.2

解析　D　∵S△PF1F2=b2tan60°2=3×tan 30°=3=12|PF1→|•|PF2→|•sin 60°，∴|PF1→||PF2→|=4，∴PF1→•PF2→=4×12=2.

9.设椭圆x2m2+y2n2=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为(　　)

A.x212+y216=1   B.x216+y212=1

C.x248+y264=1  D.x264+y248=1

解析　B　抛物线的焦点为(2,0)，∴由题意得c=2，cm=12，

∴m=4，n2=12，∴方程为x216+y212=1.

10.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的 一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)

A.2   B.3

C.2   D.3

解析　B　设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1，焦点F(-c，0)，将x=-c代入x2a2-y2b2=

1可得y2=b4a2，∴|AB|=2×b2a=2×2a，∴b2=2a2，c2=a2+b2=3a2，∴e=ca=3.

11.已知抛物线y2=4x的准线过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的焦距为(　　)

A.5   B.25

C.3  D.23

解析　B　∵抛物线y2=4x的准线x=-1过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左顶点，∴a=1，∴双曲线的渐近线方程为y=±bax=±bx.∵双 曲线的一条渐近线方程为y=2x，∴b=2，∴c=a2+b2=5，∴双曲线的焦距为25.

12.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线x2a-y2=1的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为(　　)

A.19   B.14

C.13   D.12

解析　A　由于M(1，m)在抛物线上，∴m2=2p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x=-p2的距离也为5，∴1+p2=5，∴p=8，由此可以求得m=4，双曲线的左顶点为A(-a，0)，∴kAM=41+a，而双曲线的渐近线方程为y=±xa，根据题意得，41+a=1a，∴a=19.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分， 共20分.把答案填在题中横线上)

13.已知直线l1：ax-y+2a+1=0和l2：2x-(a-1)y+2=0(a∈R)，则l1⊥l2的充要条件是a=________.

解析　l1⊥l2⇔a•2a-1=-1，解得a=13.

【答案】　13

14.直线l：y=k(x+3)与圆O：x2+y2=4交于A，B两点，|AB|=22，则实数k=________.

解析　∵|AB|=22，圆O半径为2，∴O到l的距离d=22-2=2.即|3k|k2+1=2，解得k=± 147.

【答案】　±147

15.过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________.

解析　如图，圆的方程可化为

(x-3)2+(y-4)2=5，

∴|OM|=5，|OQ|=25-5=25.

在△OQM中，

12|QA|•|OM|=12|OQ|•|QM|，

∴|AQ|=25×55=2，∴|PQ|=4.

【答案】　4

16.在△ABC中，|BC→|=4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD→|-|CD→|=22，则顶点A的轨迹方程为________.

解析　以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点.

则|BE|=|BD|，|CD|=|CF|，

|AE|=|AF|.∴|AB|-|AC|=22，

∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a=2，c=2，∴b=2，∴方程为x22-y22=1(x>2).

【答案】　x22-y22=1(x>2)

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)在平面直角坐标系中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为22的圆C经过原点O.

(1)求圆C的方程;

(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程.

解析　(1)设圆心为(a，b)，

则b=a+4，a2+b2=22，解得a=-2，b=2，

故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.

(2)当斜率不存在时，x=0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，则弦长为4，符合题意;

当斜率存在时，设直线为y-2=kx，

则由题意得，8=4+-2k1+k22，无解.

综上，直线方程为x=0.

18.(12分)(2011•合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-3，0)和F2(3，0)，且椭圆过点1，-32.

(1)求椭圆方程;

(2)过点-65，0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点.试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由.

解析　(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

由c=3，椭圆过点1，-32可得a2-b2=3，1a2+34b2=1，

解得a2=4，b2=1，所以可得椭圆方程为x24+y2=1.

(2)由题意可设直线MN的方程为：x=ky-65，

联立直线MN和椭圆的方程：x=ky-65，x24+y2=1，化简得(k2+4)y2-125ky-6425=0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则y1y2=-6425k2+4，y1+y2=12k5k2+4，

又A(-2,0)，则AM→•AN→=(x1+2，y1)•(x2+2，y2)=(k2+1)y1y2+45k(y1+y2)+1625=0，所以∠MAN=π2.

19.(12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦 点的距离分别为7和1.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM|=e(e为椭圆离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

解析　(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，

由已知，得a-c=1，a+c=7，解得a=4，c=3.

∴椭圆方程为x216+y27=1.

(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[-4,4]，

由已知得x2+y21x2+y2=e2，而e=34，

故16(x2+y21)=9(x2+y2)，①

由点P在椭圆C上，得y21=112-7x216，

代入①式并化简，得9y2=112.

∴点M的轨迹方程为y=±473(-4≤x≤4)，

∴轨迹是两条平行于x轴的线段.

20.(12分)给定抛物线y2=2x，设A(a,0)，a>0，P是抛物线上的一点，且|PA|=d，试求d的最小值.

解析　设P(x0，y0)(x0≥0)，则y20=2x0，

∴d=|PA|=x0-a2+y20=x0-a2+2x0=[x0+1-a]2+2a-1.

∵a>0，x0≥0，

∴(1)当0

此时有x0=0时，dmin=1-a2+2a-1=a;

(2)当a≥1时，1-a≤0，

此时有x0=a-1时，dmin=2a-1.

21.(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，-10)，点M(3，m)在双曲线上.

(1)求双曲线方程;

(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上;

(3)求△F1MF2的面积.

解析　(1)∵双曲线离心率e=2，

∴设所求双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0)，

则由点(4，-10)在双曲线上，

知λ=42-(-10)2=6，

∴双曲线方程为x2-y2=6.

(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32-m2=6，∴m2=3，由双曲线x2-y2=6知F1(23，0)，F2(-23，0)，

∴MF1→•MF2→=(23-3，-m)•(-23- 3，-m)=m2-3=0，

∴MF1→⊥MF2→，故点M在以F1F2为直径的圆上.

(3)S△F1MF2=12|F1F2|•|m|=23×3=6.

22.(12分)已知实数m>1，定点A(-m,0)，B(m,0)，S为一动点，点 S与A，B两点连线斜率之积为-1m2.

(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线;

(2)当m=2时，问t取何值时，直线l：2x-y+t=0(t>0)与曲线C有且只有一个交点?

(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的距离与到直线x=2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率.

解 析　(1)设S(x，y)，则kSA=y-0x+m，kSB=y-0x-m.

由题意，得y2x2-m2=-1m2，即x2m2+y2=1(x≠±m).

∵m>1，

∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.

(2)当m=2时，曲线C的方程为x22+y2=1(x≠±2).

由2x-y+t=0，x22+y2=1，消去y，得9x2+8tx+2t2-2=0.

令Δ=64t2-36×2(t2-1)=0，得t=±3.

∵t>0，∴t=3.

此时直线l与曲线C有且只有一个公共点.

(3)由(2)知直线l的方程为2x-y+3=0，

设点P(a,2a+3)(a<2)，d1表示P到点(1,0)的距离，d2表示P到直线x=2的距离，则

d1=a-12+2a+32=5a2+10a+10，

d2=2-a，

∴d1d2=5a2+10a+102-a=5×a2+2a+2a-22.

令f(a)=a2+2a+2a-22，

则f′(a)=2a+2a-22-2a2+2a+2a-2a-24

=-6a+8a-23.

令f′(a)=0，得a=-43.

∵当a<-43时，f′(a)<0;

当-43

∴f(a)在a=-43时取得最小值，即d1d2取得最小值，

∴d1d2min=5•f-43=22，

又椭圆的离心率为22，

∴d1d2的最小值等于椭圆的离心率.

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