数学归纳法练习题高三复习

数学归纳法练习题1.(2011•威海模拟)在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0等于(　　)

A.1　　 　　 B.3

C.5　　 　　 D.7

[答案]　C

[解析]　n的取值与2n，n2的取值如下表：

n 1 2 3 4 5 6 …

2n 2 4 8 16 32 64 …

n2 1 4 9 16 25 36 …

由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n>4时恒有2n>n2.

2.(2011•厦门月考、日照模拟)用数学归纳法证明：“(n+1)•(n+2)•…•(n+n)=2n•1•3 •…•(2n-1)”，从“n=k到n=k+1”左端需增乘的代数式为(　　)

A.2k+1   B.2(2k+1)

C.2k+1k+1   D.2k+3k+1

[答案]　B

[解析]　n=k时，左端为(k+1)(k+2)…(k+k);

n=k+1时，左端为[(k+1)+1]•[(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)•(k+k+1)•(k+k+2)=2(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)，故左端增加了2(2k+1).

3.若f(n)=1+12+13+14+…+16n-1(n∈N+)，则f(1)为(　　)

A.1   B.15

C.1+12+13+14+15   D.非以上答案

[答案]　C

[解析]　注意f(n)的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n-1的自然数，故f(1)=1+12+13+14+15.

4.某个命题与自然数n有关，若n=k(k∈N*)时命题成立，则可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知n=5时，该命题不成立，那么可以推得(　　)

A.n=6时该命题不成立   B.n=6时该命题成立

C.n=4时该命题不成立   D.n=4时该命题成立

[答案]　C

[解析]　∵“若n=k(k∈N*)时命题成立，则当n=k+1时，该命题也成立”，故若n=4时命题成立，则n=5时命题也应成立，现已知n=5时，命题不成立，故n=4时，命题也不成立.

[点评]　可用逆否法判断.

5.观察下式：

1+3=22

1+3+5=32

1+3+5+7=42

1+3+5+7+9=52

……

据此你可归纳猜想出的一般结论为(　　)

A.1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*)

B.1+3+5+…+(2n+1)=n2(n∈N*)

C.1+3+5+…+(2n-1)=(n+1)2(n∈N*)

D.1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2(n∈N*)

[答案]　D

[解析]　观察可见第n行左边有n+1个奇数，右边是(n+1)2， 故选D.

6.一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1);再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2);如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形(　　)

A.(8n-1)个   B.(8n+1)个

C.17(8n-1)个   D.17(8n+1)个

[答案]　C

[解析]　第1个图挖去1个，第2个图挖去1+8个，第3个图挖去1+8+82个……第n个图挖去1+8+82+…+8n-1=8n-17个.

7.(2011•徐州模拟)用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步假设n=2k-1(k∈N+)命题为真时，进而需证n=________时，命题亦真.

[答案]　n=2k+1

8.(2010•吉林市检测、浙江金华十校联考)观察下列式子：1+122<32，1+122+132<53，1+122+132+142<74，……，则可以猜想：当n≥2时，有__________________.

[答案]　1+122+132+…+1n2<2n-1n(n≥2)

[解析]　观察式子左边都是自然数的平方的倒数求和，右边分母为左边的项数，分子为项数的2倍减1，故右边表达式为2n-1n.

9.已知点列An(xn,0)，n∈N*，其中x1=0，x2=a(a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…An是线段An-2An-1的中点，…，

(1)写出xn与xn-1、xn-2之间的关系式(n≥3);

(2)设an=xn+1-xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明.

[解析]　(1)当n≥3时，xn=xn-1+xn-22.

(2)a1=x2-x1=a，

a2=x3-x2=x2+x12-x2=-12(x2-x1)=-12a，

a3=x4-x3=x3+x22-x3=-12(x3-x2)=14a，

由此推测an=(-12)n-1a(n∈N*).

证法1：因为a1=a>0，且

an=xn+1-xn=xn+xn-12-xn=xn-1-xn2=-12(xn-xn-1)=-12an-1(n≥2)，

所以an=(-12)n-1a.

证法2：用数学归纳法证明：

(1)当n=1时，a1=x2-x1=a=(-12)0a，公式成立.

(2)假设当n=k时，公式成立，即ak=(-12)k-1a成立.那么当n=k+1时，

ak+1=xk+ 2-xk+1=xk+1+xk2-xk+1=-12(xk+1-xk)=-12ak=-12(-12)k-1a=(-12)(k+1)-1a，公式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意n∈N*，公式an=(-12)n-1a成立.

10.已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有a2n≤an-an+1成立.

(1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1;

(2)探究an与1n的大小，并证明你的结论.

[解析]　(1)由a2n≤an-an+1得an+1≤an-a2n.

∵在数列{an}中an>0，∴an+1>0，

∴an-a2n>0，∴0

故数列{an}中的任何一项都小于1.

(2)解法1：由(1)知0

那么a2≤a1-a21=-a1-122+14≤14<12，由此猜想：an<1n.

下面用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N时猜想正 确.

①当n=2时，显然成立;

②假设当n=k(k≥2，k∈N)时，有ak<1k≤12成立.

那么ak+1≤ak-a2k=-ak-122+14< -1k-122+14=1k-1k2=k-1k2

∴当n=k+1时，猜想也正确.

综上所述，对于一切n∈N*，都有an<1n.

解法2：由a2n≤an-an+1，

得0

∵0

∴1ak+1-1ak≥11-ak>1.

令k=1,2,3，…，n-1得：

1a2- 1a1>1，1a3-1a2>1，…，1an-1an-1>1，

∴1an>1a1+n-1>n，∴an<1n.

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