推广：函数y=f(x)的图象与x轴交点和相应的方程f(x)=0的根有何关系呢?

结论：

函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是方程f(x)=0的实数根。 

练习题

1.已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下的x与f(x)的对应值表

x 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 132.1 15.4 -2.31 8.72 -6.31 -125.1 12.6

那么，函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)

A.5个　　　　　　　　　　 B.4个

C.3个 D.2个

解析：选C.观察对应值表可知，f(1)>0，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，f(6)<0，f(7)>0，∴函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个，故选C.

2.设f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(　　)

A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)

C.(1.5,2) D. 不能确定

解析：选B.由已知f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，

∴f(1.25)f(1.5)<0，因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内，故选B.

3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下：

f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984

f(1.375)=-0.260 f(1.4375)=0.162 f(1.40625)=-0.054

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为(　　)

A.1.25 B.1.375

C.1.4375 D.1.5

解析：选C.根据题意知函数的零点在1.40625至1.4375之间，因为此时|1.4375-1.40625|=0.03125<0.1，故方程的一个近似根可以是1.4375.

4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0=2.5，那么下一个有根区间是________.

解析：设f(x)=x3-2x-5，∵f(2)=-1<0，f(3)=16>0，又f(2.5)=5.625>0，

∴f(2)&#8226;f(2.5)<0，因此，下一个有根区间是(2,2.5).

答案：(2,2.5)

1.定义在R上的奇函数f(x)(　　)

A.未必有零点

B.零点的个数为偶数

C.至少有一个零点

D.以上都不对

解析：选C.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(0)=0，

∴f(x)至少有一个零点，且f(x)零点的个数为奇数.

2.下列函数零点不能用二分法求解的是(　　)

A.f(x)=x3-1 B.f(x)=lnx+3

C.f(x)=x2+22x+2 D.f(x)=-x2+4x-1

解析：选C.对于C，f(x)=(x+2)2≥0，不能用二分法.

3.函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间(　　)

A.(18，14) B.(14，12)

C.(12，1) D.(1,2)

解析：选C.f(18)=-154<0，f(14)=-52<0，

f(12)=-1<0，f(1)=1>0，f(2)=4>0，

∴函数零点落在区间(12，1)上.

4.已知f(x)=1x-lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度0.1)，则需要将区间等分的次数为(　　)

A.3 B.4

C.5 D.6

解析：选B.由求解方程近似解的步骤可知需将区间等分4次.

5.用二分法判断方程(12)x=x2的根的个数是(　　)

A.4个 B.3个

C.2个 D.1个

解析：选C.设y1=(12)x，y2=x2，在同一坐标系下作图象(略)可知，它们有两个交点，∴方程(12)x=x2有两个根.故选C.

6.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A.x1 B.x2

C.x3 D.x4

解析：选C.观察图象可知：点x3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x3不能用二分法求，故选C.

7.若方程x3-x+1=0在区间(a，b)(a，b是整数，且b-a=1)上有一根，则a+b=________.

解析：设f(x)=x3-x+1，则f(-2)=-5<0，f(-1)=1>0可得a=-2，b=-1，∴a+b=-3.

答案：-3

8.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点，其参考数据如下：

f(1.6000)=0.200 f(1.5875)=0.133 f(1.5750)=0.067

f(1.5625)=0.003 f(1.5562)=-0.029 f(1.5500)=-0.060

据此数据，可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确到0.01)为________.

解析：注意到f(1.5562)=-0.029和f(1.5625)=0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)<0，故区间的端点四舍五入可得1.56.

答案：1.56