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高一数学试题：第一章课堂练习题解答题

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)设集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，集合B＝{x|x<－1或x>5}，分别就下列条件求实数a的取值范围：

(1)A∩B≠?，(2)A∩B＝A.

[解析](1)因为A∩B≠?，所以a<－1或a＋3>5，即a<－1或a>2.

(2)因为A∩B＝A，所以A?B，所以a>5或a＋3<－1，即a>5或a<－4.

18．(本题满分12分)二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求a的取值范围．

[解析](1)∵f(x)为二次函数且f(0)＝f(2)，

∴对称轴为x＝1.

又∵f(x)最小值为1，∴可设f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)

∵f(0)＝3，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－1)2＋1，

即f(x)＝2x2－4x＋3.

(2)由条件知2a<1<12.< p>

19．(本题满分12分)图中给出了奇函数f(x)的局部图象，已知f(x)的定义域为[－5,5]，试补全其图象，并比较f(1)与f(3)的大小．

[解析]奇函数的图象关于原点对称，可画出其图象如图．显见f(3)>f(1)．

20．(本题满分12分)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm与60cm现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪法，才能使剩下的残料最少？

[解析]如图，剪出的矩形为CDEF，设CD＝x，CF＝y，则AF＝40－y.

∵△AFE∽△ACB.

∴AFAC＝FEBC即∴40－y40＝x60

∴y＝40－23x.剩下的残料面积为：

S＝12×60×40－x?y＝23x2－40x＋1200＝23(x－30)2＋600

∵0<60∴当X＝30时，S取最小值为600，这时Y＝20.< p>

∴在边长60cm的直角边CB上截CD＝30cm，在边长为40cm的直角边AC上截CF＝20cm时，能使所剩残料最少．

21．(本题满分12分)

(1)若a<0，讨论函数f(x)＝x＋ax，在其定义域上的单调性；

(2)若a>0，判断并证明f(x)＝x＋ax在(0，a]上的单调性．

[解析](1)∵a<0，∴y＝ax在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，

又y＝x为增函数，∴f(x)＝x＋ax在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．

(2)f(x)＝x＋ax在(0，a]上单调减，

设0< p>

＝(x1＋ax1)－(x2＋ax2)＝(x1－x2)＋a(x2－x1)x1x2

＝(x1－x2)(1－ax1x2)>0，

∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，a]上单调减．

22．(本题满分14分)设函数f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax.

(1)当a＝2时，解关于x的不等式f(x)< p>

(2)记F(x)＝f(x)－g(x)，求函数F(x)在(0，a]上的最小值(a>0)．

[解析](1)|x－2|<2x，则

x≥2，x－2<2x.或x<2，2－x<2x.

∴x≥2或23<2.即X>23.

(2)F(x)＝|x－a|－ax，∵0< p>

∴F(x)＝－(a＋1)x＋a.∵－(a＋1)<0，

∴函数F(x)在(0，a]上是单调减函数，∴当x＝a时，函数F(x)取得最小值为－a2.

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