测试
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2011-04-25
广东汕头市四校2011届高三年级4月联考
6.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )
11.如图所示的算法流程图中,若
则
的值等于 .
的最大值是 .
14.(坐标系与参数方程选做题) 圆C的极坐标方程
化为直角坐标方程为 ，该圆的面积为 ．
17.(本小题满分14分) 某校高三文科分为四个班.高三数学
18.(本小题满分14分) 如图，已知正方体
的棱长为2，E、F分别是
、
的中点，过
、E、F作平面
交
于G..（Ⅰ）求证：
∥
；（Ⅱ）求二面角
的余弦值；（Ⅲ）求正方体被平面所截得的几何体
的体积.
19.(本小题满分14分) 设圆
过点P(0,2), 且在
轴上截得的弦RG的长为4.
一、选择题
.选C.
9. 某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。
故选A。
.半径为1,面积为
.
∴∥.-------------------------------------3分
--------------------------11分
由①－②得
，∴
，………………9分
，整理得
，………………13分
数学（理）试题
第Ⅰ卷 (选择题共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 设
为全集，
是的三个非空子集，且
，则下面论断正确的是 （ ）
为全集，是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是 （ ）A
B
BC 
D
.
D.2.抛物线
的焦点坐标为 ( )
的焦点坐标为 ( ) A.
B.
C.
D.
B. C. D.3.已知复数
，则“
”是“
为纯虚数”的 ( )
，则“”是“为纯虚数”的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
<![endif]-->
4.如图,是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，
4.如图,是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为 ( ) C
A．
B．
B． C．
D．
D．5.已知等比数列
的前三项依次为
,
,
.则 ( )
的前三项依次为,,.则 ( ) A．
B．
C．
D．
B． C． D．6.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )A.
B.
B. C.
D.
D.７.已知
、
是非零向量且满足(－2，(－2，则与的夹角是 （ ） (A).
(B) 
(C).
(D).
) ⊥) ⊥
、是非零向量且满足(－2，(－2，则与的夹角是 （ ） (A). (B) (C). (D).) ⊥) ⊥８. 已知
，则
等于（ ）
，则等于（ ） A、
B、
C、
D、
B、 C、 D、 ９.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为 （ ）
10.若关于的方程
只有一个实数根，则
的取值范围为（ ）
的方程只有一个实数根，则的取值范围为（ ）A、=0 B、=0或>1 C、>1或<-1 D、=0或>1或<-1
=0 B、=0或>1 C、>1或<-1 D、=0或>1或<-1第II卷(非选择题共100分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)
(一)必做题(11-13题)
11.如图所示的算法流程图中,若则的值等于 .12.
是满足
的区域上的动点.那么
是满足的区域上的动点.那么的最大值是 .13.已知函数
，
.
，.设
是函数
图象的一条对称轴，则
的值等于 ．
是函数图象的一条对称轴，则的值等于 ．(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题) 圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为 ，该圆的面积为 ．15.(几何证明选讲选做题) 如图，圆 O 的割线 PBA 过圆心 O，弦CD 交 PA于点F，且△COF∽△PDF，PB = OA = 2，则PF = 。
三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分12分)已知
（1）若
的图象有与轴平行的切线，求
的取值范围；
的图象有与轴平行的切线，求的取值范围；（2）若在
时取得极值，且
恒成立，求
的取值范围．
在时取得极值，且恒成立，求的取值范围．
|
调研测试后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,
各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取
了22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分
布条形图如图5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)
的频率为0.05,此分数段的人数为5人.
(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?
(2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于
90分的概率.
18.(本小题满分14分) 如图，已知正方体的棱长为2，E、F分别是、的中点，过、E、F作平面交于G..（Ⅰ）求证：∥；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求正方体被平面所截得的几何体的体积.19.(本小题满分14分) 设圆过点P(0,2), 且在轴上截得的弦RG的长为4. (１)求圆心的轨迹E的方程；
的轨迹E的方程；(２)过点
(０，１)，作轨迹
的两条互相垂直的弦
(０，１)，作轨迹的两条互相垂直的弦、
，设
、的中点分别为
、
，试判断直线
是否过定点？并说明理由．
，设、的中点分别为、，试判断直线是否过定点？并说明理由．20.(本小题满分14分)已知函数
是函数
的极值点.
是函数的极值点. (1)求实数
的值；
的值； (2)若方程
有两个不相等的实数根,求实数m的取值.
有两个不相等的实数根,求实数m的取值.21.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系上，设不等式组
（
）所表示的平面区域为
，记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为
.（Ⅰ）求
并猜想
的表达式再用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）设数列
的前r项和为
，数列
的前r项和
,是否存在自然数m？使得对一切，
恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。
（）所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为.（Ⅰ）求并猜想的表达式再用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）设数列的前r项和为，数列的前r项和,是否存在自然数m？使得对一切，恒成立。若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。<![endif]-->
参考答案
一、选择题 1.由文氏图可得结论（C）
2.抛物线的开口向左,且
,
.选D.
,.选D.3.
时, 
是纯虚数; 
为纯虚数时
=0,解出
.选A.
时, 是纯虚数; 为纯虚数时=0,解出.选A.4.所求平均分
.选C.
.选C.5.
,
,
成等比数列,
,解得
数列
的首项为4,公比为
.其通项
,,成等比数列,,解得数列的首项为4,公比为.其通项.选C.6.所求几何体为一个圆柱体和圆锥体构成.其中圆锥的高为
.体积
.体积=
.选C.
.选C.7. 由已知得：(－2)=0，(－2) =0；即得：
=
=2，∴cos<，>=
，∴选B
－2)=0，(－2) =0；即得：==2，∴cos<，>=，∴选B8. 由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约，故m为一确定的值，于是sinθ,cosθ的值应与m的值无关，进而推知tan
的值与m无关，又
<θ<π，
<<,∴tan>1，故选D。
的值与m无关，又<θ<π，<<,∴tan>1，故选D。9. 某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。 故选A。10. 作直线
的图象和半圆
,从图中可以看出: 的取值范围应选(D).
的图象和半圆,从图中可以看出: 的取值范围应选(D).注:求与方程实数根个数有关的问题常用图解法.
二、填空题
11.
12.直线
经过点P(0,4)时,
最得最大值,最大值是4.
经过点P(0,4)时,最得最大值,最大值是4.13.由题设知
．因为
是函数
图象的一条对称轴，所以
，即
(
)．所以
=
．
．因为是函数图象的一条对称轴，所以，即()．所以=．14.(坐标系与参数方程选做题)将方程
两边都乘以
得: 
,化成直角坐标方程为
两边都乘以得: ,化成直角坐标方程为.半径为1,面积为.15.(几何证明选讲选做题)由△COF∽△PDF得
，即
=
，即=<![endif]-->
=
，即
=
，
=，即=，解得
，故
=3
，故=3三、解答题
16. （1）
,由己知
有实数解，∴
，故
,由己知有实数解，∴，故（2）由题意是方程
的一个根，设另一根为
是方程的一个根，设另一根为则
，∴
…………2分
，∴…………2分∴
，
，当
时，
；
时，；当
时，
；当
时，
时，；当时，∴当
时，有极大值
；又
，
，
时，有极大值；又，，即当
时，的最大值为
时，的最大值为∵对
时，
恒成立，∴
，∴
或
故的取值范围是
时，恒成立，∴，∴或 故的取值范围是17.解:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为
人. ……4分
人. ……4分 ∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为
,
,由
=100,解得
.
=100,解得.∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人. ……8分
(2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.
18.（Ⅰ）证明：在正方体中，∵平面
∥平面
中，∵平面∥平面 平面
平面
，平面平面
平面，平面平面 ∴∥.-------------------------------------3分 （Ⅱ）解：如图，以D为原点分别以DA、DC、DD1为
x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有
D1（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），
∴
，
， 设平面的法向量为 
的法向量为 则由
，和
，得
，
，和，得， 取
，得
，
，∴
------------------------------6分
，得，，∴ ------------------------------6分又平面
的法向量为
（0，0，2）
的法向量为（0，0，2）故
；
； ∴截面与底面所成二面角的余弦值为
. ------------------9分
与底面所成二面角的余弦值为. ------------------9分（Ⅲ）解：设所求几何体的体积为V，
的体积为V， ∵
～
，
，
，
～，，， ∴
，
，
，， ∴
，
，--------------------------11分故V棱台
∴V=V正方体-V棱台
. ------------------14分
. ------------------14分19.解：(1)设圆心的坐标为
，如图过圆心作
轴于H,
的坐标为，如图过圆心作轴于H,则H为RG的中点，在
中，
…3分
中，…3分∵
∴
∴ 即
…………………6分
…………………6分 (2) 设
，
，直线AB的方程为
（
）则
-----①
---②
（）则-----①---②由①－②得，∴，………………9分∵点
在直线上， ∴
．
在直线上， ∴．∴点Ｍ的坐标为
．………………10分
．………………10分同理可得：
, 
,
, ,∴点的坐标为
．………………11分
的坐标为．………………11分直线的斜率为
，其方程为
的斜率为，其方程为，整理得，………………13分显然，不论为何值，点
均满足方程，
为何值，点均满足方程，∴直线恒过定点．……………………14分
恒过定点．……………………14分20.(1)
,
,由已知，
.
,,由已知，. (2)由(1)
.
.令
,当
时:
,当时:|
x
|
 |
1
|
 |
 |
-
|
0
|
+
|
 |
<![endif]-->
 |
极小值
 |
<![endif]-->
 |
所以，要使方程
有两不相等的实数根，即函数
的图象与直线
有两个不同的交点, m=0或
.
有两不相等的实数根，即函数的图象与直线有两个不同的交点, m=0或.21.(1)由题意得△
，即
,进而可得
,
.
，即,进而可得,. (2)由于，所以
，因为
，所以数列
是以
为首项，公比为2的等比数列，知数列
是以
为首项，公比为
的等比数列，于是
,所以
.
，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，知数列是以为首项，公比为的等比数列，于是 ,所以.标签：高中资讯
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