高中数学知识点难点：直线与圆锥曲线的位置关系问题

【摘要】复习的重点一是要掌握所有的知识点，二就是要大量的做题，精品学习网的编辑就为各位考生带来了高中数学知识点难点：直线与圆锥曲线的位置关系问题

弦中点问题

例2 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点.若AB的中点为(2，2)，则直线的方程为.

解(解法一)据题意可知抛物线C的方程为y2=4x.

设直线l与抛物线C的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).

∵A，B在抛物线C上，∴整理得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).

又AB的中点为(2，2)，则有y1+y2=4，∴.

∴直线的方程为y-2=1(x-2)，即y=x.

(解法二)据题意可知抛物线C的方程为y2=4x.

设直线l与抛物线C的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).

由题意可知，直线l的斜率k存在，设直线l的方程为y-2=k(x-2)，即y=kx-2k+2.

由方程组消去x，得ky2-4y-8k+8=0.

又AB的中点为(2，2)，则有y1+y2=4，即，解得k=1.

∴直线的方程为y-2=1(x-2)，即y=x.

小结解法一虽设了A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，但并不需要把这两点的坐标具体算出来，只是利用这两点在抛物线上，通过代入抛物线方程作差变形，来获得直线AB的斜率与弦AB中点有关的关系式，进而解出斜率，从而使问题得以解决;解法二是联立弦所在直线方程与抛物线方程，消去x或y，利用韦达定理可以把x1+x2或y1+y2用直线的斜率k的多项式表示出来，进而解出k，从而使问题得以解决.可见，涉及弦中点的问题时，设而不求点差法和联立方程韦达法是我们最明智的选择.

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