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高中趣味数学学习：斯隆先生的四片果林

斯隆先生有四片果树林分别种了苹果树、柠檬树、柑橘树和桃树。

(1)果树林的果树都成行排列，每片果树林中各行的果树棵数相等。

(2)苹果林的行数最少，柠檬林比苹果林多一行。柑橘林比柠檬林多一行，桃树林又比柑橘林多一行。

(3)有三片果树林，每片果树林四周边界上的果树与其内部的果树棵数相等。

在这四片果树中，哪一片边界上的果树与其内部的果树棵数不相等?

(提示：用代数式表示(3)中提到的那三片果树林边界上果树的棵数和内部果树的棵数。对于这三片果树林的相邻边上果树的棵数，只有四对可能的值。)

答案

如图所示：

根据{(1)果树林的果树都成行排列，每片果树林中各行的果树棵数相等。}，设{(3)有三片果树林，每片果树林四周边界上的果树与其内部的果树棵数相等。}中提到的三片果树林的两条相邻边上果树的棵数分别为x和y.于是边界上果树的棵数等于(y+y)+(x-2)+(x-2)，即2y+2x-4;而内部果树的棵数等于(x-2)×(y-2)根据{(3)有三片果树林，每片果树林四周边界上的果树与其内部的果树棵数相等。}，

2y+2x-4=(x-2)(y-2)

解出x，

于是y必须大于4，而y-4必须整除4y-8。

经反复试验，得出以下四对数值：

x y

________________________

12 5

8 6

6 8

5 12

(这里是全部可能的数值，因为(4y-8)/(y-4)等于4+8/(y-4)，要使8/(y-4)为正整数，y必须是5、6、8或者12。)

根据{(2)苹果林的行数最少，柠檬林比苹果林多一行。柑橘林比柠檬林多一行，桃树林又比柑橘林多一行。}，一定是苹果林有5行，柠檬林有6行，柑橘林有7行，桃树林有8行。

由于有7行果树的柑橘林不能满足条件(3)，所以边界上的果树与内部的果树棵数不相等的果树林是柑橘林。

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