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高中趣味数学学习：可爱的克莱因四次曲面模型

据美国《科学美国人》网站报道，上周数学家兼艺术家DainaTaimina在Twitter上展示了她的最新作品。这是一个可爱的克莱因四次曲面模型，用钩针编织而成。

克莱因四次曲面是一个二维物体，拥有三个孔，具有较强的对称性。事实上，作为一个三孔的曲面，它的对称性已经超出了常规：168个对称性用来保持表面的方向，另外168个对称性用来内外翻转。

一个钩针编织的可爱的克莱因四次曲线模型

对数学家来说，有很多种方法来定义克莱因四次，Taimina则使用了其中之一：她把24个七边形缝在了一起，形成了一个克莱因四次模型。该过程涉及到用七边形材料来填铺双曲面。

人们很容易用六边形来填充一个二维的欧几里得平面。在现实生活中，如浴室瓷砖和蜂窝中，也经常能见到这种现象。因为六边形的每个角都是120度，当三个角拼在一起的时候，正好构成一个360度的角，并形成一个完全平坦的平面。

如果用五边形来代替六边形，还是将三个角拼在一起，但最终不能构成一个360度的角，而只有324度，因为五边形的每个角只有108度。但人们可以将五边形粘起来，形成一个封闭式的十二面体。

黄蜂喜欢把蜂窝孔设置成正六边形

然而，如果人们使用的是七边形，则会产生一个角盈余。七边形的每个内角都是128多度，如果将三个角放在一个顶点上，将会得到一个360多度的角。所以，虽然人们不能用七边形来铺成一个欧几里得平面，但可以得到一个双曲面。这就创造了一个数学仙境：三角形的三角之和可以不足180度，独角兽也可能是真实存在的。

Taimina正是用24个七边形，创造出了一个克莱因四次曲面。在她的博客上，人们可以了解到具体的制作过程。而其它的制作方式，也可以从 JohnBaez和GregEgan那里了解到。在三维空间中，克莱因四次曲面不可能完全实现，因为目前为止，数学家还不能制成蕴含所有对称性的模型。在这个可爱的克莱因四次模型上，有很多白色的线缝，它们能使我们联想到Taimina是如何将它们黏在一起的。

据悉，Taimina是第一个使用钩针制作双曲面模型的人。在她之后，会编织技术的人可以参考其书籍，制作双曲面模型。这不仅能提高人们的编织技能，也可以加深人们对双曲几何的理解。除此之外，Taimina还激发了其他数学家构建双曲模型的动力。这为数学界的双曲面研究做出了重要的贡献。

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