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高中趣味数学：我们周围的圆锥曲线一

圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现.在笛卡尔直角坐标系中,这些曲线的方程是二次方程,所以圆锥曲线又叫做二次曲线.对于二次曲线的价值大概还没有人会估计得过高.在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线.例如,我们的地球绕太阳运行的轨道是椭圆.太阳系的其他行星的运行轨道都是椭圆.这个事实是由开普勒第一定律确定的.

之所以沿着椭圆轨道运动,是因为每一个行星在每一个瞬间都有不超过某一个值的速度.事实证明,假如这个速度过大了,运动就会沿着抛物线或双曲线轨道进行.相对于一个静止的物体,并按照万有引力定律受他吸引的物体运动,不可能有任何其他的轨道.因此,二次曲线实际上是以我们的宇宙为基础的.

又如,如果让抛物线绕其轴旋转,就得到一个叫做旋转抛物面的曲面.在抛物面的轴上,有一个具有美妙性质的焦点,任何一条通过该点的直线由抛物面上反射出来之后,在指向上都平行于抛物面的轴.而这意味着如果把探照灯做成抛物面的形状,并且把灯泡放在焦点上,那么从抛物面上反射回来的所有光线就形成一束平行光束.这显然是一个很大的优点,因为正是这样一束光线在空间中,甚至于在离光源距离相当大的情况下,很少扩散.当然,实际上我们得不到理想的平行光束,因为灯泡不是一个点,但对于实用的目的来说,只要接近于这样的光束就够了.

天文望远镜上的反射镜也是利用抛物面的形状制作的.它的作用刚好和探照灯的作用相反:探照灯的反射镜把光线反射到空间,天文望远镜的反射面则把来自宇宙的光线聚焦到自己的焦点上.只要用放大镜组瞄准这个焦点就行了,这样,我们就会得到聚焦到其光线的那个星球的信息,这比肉眼观察所能提供的信息要多的多.

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