高中趣味数学(足球表面的数学)

1.足球表面有几块皮子?

前几天，作了一道这样的题：一只用黑白皮子缝制的足球，黑皮子是正无边形，白皮子是正六边形，每个黑皮子周边缝了5个白皮子。已知整个足球面上有12块黑皮子，求有几块白皮子。

乍一看，似乎无从入手，但解法并不难。解法如下：

解：每个黑皮子周边缝了5个白皮子，

白皮子共有(含有重复的)：=60(块)

每个白皮子旁边都有3个黑皮子，所以被重复计算了3次，

白皮子共有：=20(块)

因此，足球表面有黑白皮子共32块。

做完之后，我又想：若是给出有20个白皮子，求黑皮子的个数呢?解法如下：

解：每个白皮子周边缝了3个黑皮子，

黑皮子共有(含有重复的)：=60(块)

每个黑皮子旁边都缝有5个白皮子，所以被重复计算了5次，

黑皮子共有：=12(块)

因此，足球表面有黑皮子有12块。

再往下想，若是问：共32块皮子，求黑白皮子各多少呢?解法如下：

解：设有黑皮子x块，则白皮子有(32-x)块

每个黑皮子周边缝了5个白皮子，每个白皮子都被重复计算了3次，

白皮子共有：(块)

白皮子数：32-12=20(块)

因此，足球表面有黑皮子12块，白皮子20块。

那么这道题，我们便弄清楚了。但也许有人会问：为什么一定是12块黑皮子，20块白皮子呢?这个问题问的好，为了证明这一点，我去了许多商场，发现所有的足球都由12块黑皮子，20块白皮子构成，只不过是大小不同罢了。因此，我们可以得出一个结论：足球都由12块黑皮子，20块白皮子构成，多一块或少一块都不行。

2.足球表面的奇怪现象

大家都学过，平面密铺图形的规律是：再同一顶点处的各个角的度数和为3600，且各正多边形的边长相等。但在足球的表面上，每个顶点处有2个正六边形，1个正五边形就可以密铺了!可1个正六边形的内角是1200，1个正五边形的内角是1080，那么2个正六边形，1个正五边形的三个内角和应为1200*2+1080=3480，并未满3600，却可以密铺了，这又是为什么呢?这说明平面上的密铺和曲面上的密铺不同，它可能涉及到一个更深奥的几何学。

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