高中趣味数学(排列与组合彩票数学知识)

在求排列组合时，经常要用到两条原则----加法原则和乘法原则。先看下面的问题： 从甲地到乙地，可以乘火车，可以乘汽车，也可以乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。问从甲地到乙地共有几种走法? 解：因为乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，因此从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法。

一般地，有如下的原则： 加法原则：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么，完成这件事共有N=m1十m2十……十mn种不同的方法。

再看下面的问题： 从甲地到丙地必须经过乙地，从甲地到乙地有A，B，C，D四条道路;从乙地到丙地有H，I，J三条道路。问从甲地到丙地共有几种走法? 因为从甲地到乙地有4种走法，而采用每一种走法走到乙地后，又可有3种走法到丙地。所以共有 4*3=12种不同的走法。

一般地，有如下的原则： 乘法原则：完成一件事，有n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，必须通过每一步骤，才算完成这件事，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×mn种不同的方法。

排列(一)

排列的概念

关于排列，我们先看下面的例子：

例：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解：题中所指“没有重复数字”就是三位数中的三个数字不能是同一数字。根据题意。第一步，先确定百位上的数字。在1，2，3，4这四个数字中任取一个，共有4种方法;假设我们取3作为百位数。 第二步，确定十位上的数字。当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字中1，2，4中去取，共有3种

方法;假设我们取2作为十位数。 第三步，确定个位上的数字。当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字1和4中去取，共有2种方法。 根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有 4×3×2=24 种。就是说，共可以排成24个不同的三位数。

定义1：一般地说，从n个不同元素中，任取m (m<=n)个元素(这里只研究被取出的元素各不相同的情况)，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个m元素的一个排列。

从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素相同，而且排列的顺序也必须完全相同。如果所取的元素不完全相同，如问题中的三位数“123”和“321”，虽然它们的元素相同，但排列顺序不同，也是两个不同的排列。

排列(二)

有重复的排列

上一讲我们讨论的排列中是不允许有重复的元素，但是很多情况下我们碰到的是有重复元素的问题，所以有必要对此作一下讨论。

在定义前，我们先看一下下面的例子：

例：由1-9这九个数字，共可组成多少个六位数?(每个位置上的数字可以重复) 解：1，先确定十万位上的数字。在1-9这九个数字中任取一个，共有9种方法。 2，确定万位上的数字。在1-9这九个数字中任取一个，还是有9种方法。 3，千位，百位，十位和个位上的数字取法如上，都为9种。 4，根据乘法原理，共有 9×9×9×9×9×9=531441 种取法。

定义2：一般地说，从n个不同元素中，任取m (m<=n)个元素(元素可以重复)，按照一定的顺序排成一列，叫做有重复的排列。

在我们身边，“数字型彩票”就是属于有重复的排列。它的游戏规则大家肯定不会陌生，是从0-9这10个数字中任取6个数字组成一个六位数，然后从0-4这5个数字中任取1个数字作为特别号码。只不过这个六位数和数学意义上的六位数有些不同，它允许0作为十万位上的数字。

由上述的定义2，不难算出“数字型彩票”共有每次开奖共有

特别号码个数×106 种

即五百万个不同的开奖号码。

排列(四)

排列数计算公式的应用

学习了排列数的计算后，我们基本可以解决所有只牵涉到排列的问题。看一下下面的这两个例子。

例1：红，黄，蓝三种颜色不同的旗，按不同的次序排成一列表示信号，可以单用一面，或两面，三面并用，问一共可以表示多少不同的信号? 解：一面组成的信号有P(1,3)种; 两面组成的信号有P(2,3)种; 三面组成的信号有P(3,3)种。 根据加法原则，得： P(1,3)+P(2,3)+P(3,3)=3+3*2+3*2*1=15(种)

例2：有一分，两分，五分的硬币各若干枚。从中挑出1-3枚硬币表示一种代号。可以只用一枚，也可用两枚，也可用三枚，允许重复挑选。问一共有多少种不同的代号? 解：这个问题要根据元素重复的排列计算公式来解决。 一枚表示的代号有31种， 两枚表示的代号有32种， 三枚表示的代号有33种。 根据加法原则，得： 31+32+33=3+9+27=39(种)

定义3：从n个不同元素中，任取m (m<=n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P(m,n) 表示。

例如：从5个不同元素中取出3个元素的排列数表示为P(3,5)。求排列数P(m,n)可以这样考虑：设有n个元素m1，m2，...，mn 从其中先任选1个元素排在第一个位置，因为m1，m2，...，mn中任选1个都可以，所以有n种方法;排在第二个位置的元素，是除了选作第一位的元素以外的n-1个元素中再任选一个，所以有n-1种方法;这样下去，选第三个，第四个......第m个位置的元素的方法，数目分别是n-2,n-3,...,n-(m-1)。根据乘法原则，它们的总数是这m个排列方法的数目的积，即n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1),所以P(m,n)=n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1)。这里m<=n。

这就是说，从n个元素中每次取出m个元素，所有的排列总数等于m个连续自然数的积，其中最大的一个数是n，这个公式叫做排列数公式。当m=n时，叫做n个不同元素的全排列。

排列的概念：

关于排列，我们先看下面的例子：

例：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数?

解：题中所指“没有重复数字”就是三位数中的三个数字不能是同一数字。根据题意。

第一步，先确定百位上的数字。在1，2，3，4这四个数字中任取一个，共有4种方法;假设我们取3作为百位数。

第二步，确定十位上的数字。当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字中1，2，4中去取，共有3种方法;假设我们取2作为十位数。

第三步，确定个位上的数字。当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字1和4中去取，共有2种方法。

根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有 4×3×2=24 种。就是说，共可以排成24个不同的三位数。

定义1：一般地说，从n个不同元素中，任取m (m<=n)个元素(这里只研究被取出的元素各不相同的情况)，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个m元素的一个排列。

从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素相同，而且排列的顺序也必须完全相同。如果所取的元素不完全相同，如问题中的三位数“123”和“321”，虽然它们的元素相同，但排列顺序不同，也是两个不同的排列。

组合(一)

组合的性质：让我们先看一下下面的例子：

例：北京--天津--上海三个民航站的直达航线，一共有几种不同的飞机票价? 解：因为北京--上海，上海--南京，南京--北京三条航线的距离各不相同，所以有3种不同的飞机票价。

这个问题与需要准备几种不同的飞机票是不同的。飞机票的总数，与两个城市的先后顺序有关，这是一个排列问题;而票价只与两个城市的距离有关，与两个城市的先后顺序无关，因此可以看作是从三个不同的元素中任选两个，不管怎样的顺序并成一组，求一共有多少个不同的组，这就是我们要研究的组合问题。

定义：一般地说，从n个不同元素里，每次取出m (1<=m<=n)个元素, 不管怎样的顺序并成一组，叫做从n个元素里每次取出m个元素的组合。 例如：从3个元素a,b,c里每次取出2个元素的组合，就是指下列三种组合ab,ac,bc。

由组合的定义可以知道，如果两种组合里所含的元素完全一样，只是排列的顺序不同，如ab和ba，那么它们仍是相同的组合。 由此可知，组合和排列是不同的。排列和元素排列的顺序有关，但是组合和这种顺序没有关系。

习题： 1，从2，3，5，7，11，13这六个数中，每次取出3个数相乘。问可以得到多少个不同的积? 2，一分，二分，五分硬币各一枚，一共可以组成多少种不同的币值?

由于组合数的计算公式的推导过程比排列要麻烦，所以我们这里略去复杂的推导过程，直接给出组合数的计算公式。

定义：从n个不同元素中取出m(m<=n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C(m,n)表示。

C(m,n)=n*(n-1)*...*(n-m+1) / (1*2*...*m) 当m=n时，C(m,n)=1。

让我们来看下面这个例题： 例：有七个人进行乒乓球比赛，采用单循环制，即每两人之间要进行一场比赛。问共要进行多少场比赛? 解：这个问题等同于从7个不同的元素中选取2个元素的所有组合个数。 所以比赛场数等于C(2,7)=7*...*(7-2+1)/(1*2)=7*6/2=21

组合的推广：

定义1:若r1+r2+......+rk=n，把n个不同的元素分成k个部分，第一部分r1个，第二部分r2个，......，第k部分rk个，则不同的分法有： n! / (r1!*r2!*......*rk!) 种，这里n!叫做n的阶层，它的值为n!= 1*2*......*n ;

定义2:若n个元素中有n1个具有特性“1”， n2个具有特性“2”，......，nk个具有特性“k”，且n1+n2+......+nk= n，从这n个元素中取出r个，使得具有特性“I”的元素有ri个(1<=I<=k)，而r1+r2+......+rk=r ，这时不同的取法的总数为： C(r1，n1)*C(r2，n2)*......*C(rk，nk) ，这里要求ri <= ni 。

例：有10个砝码，其重量分别为1克，2克，......，10克，从中取出三个;要求取出的三个砝码，一个小于5克，一个等于5克，一个大于5克。问共有多少种不同的取法? 解：由上述的定义2，我们认为1克-4克的砝码具有特性“1”，5克的砝码具有特性“2”，6克-10克的砝码具有特性“3”。从这10个砝码中取出三个，具有特性“1”、特性“2” 、特性“3”的各取一个，则不同取法总数为： C(1，4)*C(1，1)*......*C(1，5)=4*1*5=20 (种)

排列与组合复合计算：

在了解了排列和组合的基本性质以后，我们可以来计算一些比较复杂的排列，组合的计算题，求解时，必须先确定是排列还是组合问题，然后根据题意列出计算式，求得解答。

例1：课外研究小组共有13个人，其中男同学8人，女同学5人。从这13人里选出3个人准备报告，在选出的3人中至少要有1个女同学。问一共有多少种选法? 解：“至少有有1个女同学”，就是说选出的3个人中，可以有1个女同学，2个女同学，也可以有3个女同学。根据乘法原则： 有1个女同学的选法有C(1,5)*C(2,8) 种; 有2个女同学的选法有C(2,5)*C(1,8) 种; 有1个女同学的选法有C(3,5) 种。 根据加法原则，至少有1个女同学的选法的种数为 C(1,5)*C(2,8)+C(2,5)*C(1,8)+C(3,5)=5*28+10*8+10=230

例2：用0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成无重复的四位数中，比1200大的共有多少个? 解：比1200大的四位数，是以下各数组成： 1，千位数字为2，3，4，5，6;这样的四位数有 C(1,5)*P(3,6) 种。 2，千位数字为1，而百位数字为2，3，4，5，6;这样的四位数有 C(1,5)*P(2,5) 种。 根据加法原则，得到 C(1,5)*P(3,6)+C(1,5)*P(2,5)=600+100=700。

对于有些比较复杂的排列组合问题，直接利用乘法原则比较困难，可根据已知条件分为若干类，然后利用加法原则，可求得它们的解。

例如，对生产的一批乒乓球进行质量抽查，结果如下表所示:

抽取球数 n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1902 m/n 0.90 0.92 0.97 0.94 0.95 0.95

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