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等差数列的基本性质

⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d.

⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd.

⑶若{ a }、{ b }为等差数列，则{ a ±b }与{ka +b}(k、b为非零常数)也是等差数列.

⑷对任何m、n ，在等差数列{ a }中有：a = a + (n-m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性.

⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a }为等差数列时，有：a + a + a + … = a + a + a + … .

⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差).

⑺如果{ a }是等差数列，公差为d，那么，a ，a ，…，a 、a 也是等差数列，其公差为-d;在等差数列{ a }中，a -a = a -a = md .(其中m、k、 )

⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项.

⑼当公差d>0时，等差数列中的数随项数的增大而增大;当d<0时，等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时，等差数列中的数等于一个常数.

⑽设a ，a ，a 为等差数列中的三项，且a 与a ，a 与a 的项距差之比 = ( ≠-1)，则a = .

5.等差数列前n项和公式S 的基本性质

⑴数列{ a }为等差数列的充要条件是：数列{ a }的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式(其中a、b为常数).

⑵在等差数列{ a }中，当项数为2n (n N )时，S -S = nd， = ;当项数为(2n-1) (n )时，S -S = a ， = .

⑶若数列{ a }为等差数列，则S ，S -S ，S -S ，…仍然成等差数列，公差为 .

⑷若两个等差数列{ a }、{ b }的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则 = .

⑸在等差数列{ a }中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a-b).

⑹等差数列{a }中， 是n的一次函数，且点(n， )均在直线y = x + (a - )上.

⑺记等差数列{a }的前n项和为S .①若a >0，公差d<0，则当a ≥0且a ≤0时，S 最大;②若a <0 ，公差d>0，则当a ≤0且a ≥0时，S 最小.

3.等比数列的基本性质

⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q ( m为等距离的项数之差).

⑵对任何m、n ，在等比数列{ a }中有：a = a · q ，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性.

⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a }为等比数列时，有：a .a .a .… = a .a .a .… ..

⑷若{ a }是公比为q的等比数列，则{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q }、{q}、{ }.

⑸如果{ a }是等比数列，公比为q，那么，a ，a ，a ，…，a ，…是以q 为公比的等比数列.

⑹如果{ a }是等比数列，那么对任意在n ，都有a ·a = a ·q >0.

⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积.

⑻当q>1且a >0或0

4.等比数列前n项和公式S 的基本性质

⑴如果数列{a }是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是S =

也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论.

⑵当已知a ，q，n时，用公式S = ;当已知a ，q，a 时，用公式S = .

⑶若S 是以q为公比的等比数列，则有S = S +qS .⑵

⑷若数列{ a }为等比数列，则S ，S -S ，S -S ，…仍然成等比数列.

⑸若项数为3n的等比数列(q≠-1)前n项和与前n项积分别为S 与T ，次n项和与次n项积分别为S 与T ，最后n项和与n项积分别为S 与T ，则S ，S ，S 成等比数列，T ，T ，T 亦成等比数列.

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