编者按：精品学习网小编为大家收集了“关于“对向量法证明线面垂直一法质疑”的回应”，供大家参考，希望对大家有所帮助!

我承认，这题目取得有蛋疼，麻烦各位教我学学如何起名字，事情是这样的，彭翕成老师收到一朋友的来信，这位朋友看见一篇论文，因此迷惑不解。原信请进入彭翕成老师博客。这篇论文的内容大家也可以看见，我在这里就不贴出来，大体说说就行了。

我在不同的场合提到过”用向量法证明线面垂直“的内容，大体思路是：

一个平面α和三条直线a、m、n，m和n在α上，m和n相交，a⊥m且a⊥n，证明a⊥α。

要证明a⊥α，只需要在α里任意取一直线c，只要证明a⊥c就行。根据平面向量理论，c向量可以用m向量和n向量表示(这里就直接用a和b表示向量了)，于是我们设c=km+hn，其中k、h为常数。那么：

a·c=a·(km+hn)

=ka·m+ha·n

因为a⊥m，所以a·m=0，同理a·n=0，从而a·c=0，所以a⊥c。

这方法一直以来被奉为上宾，不只是学夫子，很多名师都提倡这方法。不过新疆的一位老师却提出质疑，因为在他看来，此方法犯了”循环论证“的错误。因为在这样一个证明过程里面，用到了”空间向量数量积的分配率“，这是关键的地方，因为我们在证明”空间向量数量积满足分配率“的问题上，又必须用到线面垂直的内容，因此犯了循环论证的错误，具体可以参考彭翕成老师博客里的配图，那里有论文全文。

首先我得感谢这位老师，我不得不承认，至始至终我都忽略了空间向量分配率的证明，在此对我是当头棒喝，深感惭愧。当一个人的思想观念受到质疑时，只有两条路可走：一是推翻质疑，一定要有足够的理由;二就是承认自己的错误和无知。对于这一个问题的解决办法，有这么一条路可以走，那就是绕过”线面垂直“。

1：一个比较”耍赖“的办法就是，我们用”证明线面垂直“的办法直接证明线线垂直(配图截取自原论文)

现在不是要证明OA⊥HF吗?我们这里就不直接用线面垂直的判定定理，我们直接用证明线面垂直的证明方法来证明OA⊥HF。想想线面垂直不就是证明平面里的任何一条直线都垂直于OA吗?那我们就直接用这方法证明OA⊥HF得了，很简单地绕过”线面垂直“这个话题。整体说来这个过程就是：用证明结论P的方法来证明另一个结论Q，反过来Q的证明可以大大简化P的证明。我觉得这并不算循环论证。

2：另外一个稍微有点好的方法就是，完全利用向量数量积的定义，跨过分配率，直接证明向量数量积的坐标表示

现在有a，b，c三向量，现在把他们的起点都移动到原点，并且设其坐标为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).

根据定义a·b=|a|·|b|·cosα。|a|=√x12+y12+z12，|b|=√x22+y22+z22，在a和b构成的三角形里，第三条边的长度为|c|=√(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2，，利用余弦定理：

从而跳过了分配率直接得到数量积坐标公式：a·b=x1x2+y1y2+z1z2.这样我们就可以通过这个公式开始我们的证明了

现在是要证明：a·(b+c)=a·b+a·c

设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).c=(x3,y3,z3)，b+c=(x2+x3,y2+y3,z2+z3).

左边=a·(b+c)=x1(x2+x3)+y1(y2+y3)+z1(z2+z3)

=x1x2+x1x3+y1y2+y1y3+z1z2+z1z3.

右边=a·b+a·c

=x1x2+y1y2+z1z2+x1x3+y1y3+z1z3.

左边=右边，从而分配率得证。

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