高中数学函数的奇偶性讲解

函数的奇偶性讲解一奇偶函数的概念

奇函数和偶函数的概念设函数y=f (x)的定义域为D，且D关于原点对称。

(1) 如果对于函数f (x)的定义域D内任意一个x，都有f (-x)=-f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数.

(2) 如果对于函数f (x)的定义域D内任意一个x，都有f (-x)=-f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数.

二、奇函数和偶函数的判定

1：第一条是定义域关于原点对称，这个是必要的条件，如果定义域不关于原点对称，即使有f(x)=f(-x)，也不能称为偶函数，对于f(x)=-f(-x)，也是如此，如果定义域不关于原点对称，也无法称为奇函数。

2：看f(x)与f(-x)的关系了。在定义域关于原点对称的前提下

如果f(x)=f(-x)，则说明是偶函数。举个例子：f(x)=cosx，则f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x)，这样子就可以说明f(x)=cosx是偶函数了。同样，你可以试试f(x)=x·x，f(-x)=(-x)·(-x)=x·x=f(x)，所以，可以说明f(x)=x·x是偶函数了。还有f(x)=f(-x)是最基本的形式，可以有变形，可以相减f(x)-f(-x)=0，也可以相除f(x)/f(-x)=1;

如果f(x)=-f(-x)，则说明f(x)为奇函数。举个例子：f(x)=x;则f(-x)=-x=-f(x)，所以f(x)=x是奇函数了。同样，对于基本的f(x)=-f(-x)也可以变形，相加为零，相除为负一。

3：奇函数和偶函数在图形的差别

奇函数是关于原点对称;偶函数是关于Y轴对称。

三、一些相关概念

函数的奇偶性：定义域内任意实数x

注：1、定义域关于原点对称是函数为奇、偶函数的必要条件

2、偶函数没有反函数

3、定义在R或[-a,a]、[-a,a]上的奇函数必过原点，即f(0)=0

4、偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点中心对称

5、奇+奇=奇 偶+偶=偶 偶+奇=不定

奇*奇=偶 偶*偶=偶 偶*奇=奇

四、相关例题讲解

例1已知函数f(x),g(x)都定义在实数集R上，且满足f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)+g(x)=x^2+x-2，试求函数f(x),g(x)的解析式。

2.函数f(x)=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是       (    )

A.奇函数非偶函数      B.偶函数非奇函数

C.奇函数且偶函数      D.非奇非偶函数

3. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx是(  )

A.奇函数         B.偶函数

C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数

4. (2005重庆)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在 上是减函数，

且f(2)=0，则使得f(x)<0的x的取值范围是 (   )

A.(-￥,2)  B. (2,+￥)   C. (-￥,-2)è(2,+￥)   D. (-2,2)

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