●闯关训练

夯实基础

1.已知y=f(x)在定义域[1，3]上为单调减函数，值域为[4，7]，若它存在反函数，则反函数在其定义域上

A.单调递减且最大值为7     B.单调递增且最大值为7

C.单调递减且最大值为3     D.单调递增且最大值为3

解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，f-1(x)的值域是[1，3].

答案：C

2.关于x的方程|x2-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________________.

解析：作函数y=|x2-4x+3|的图象，如下图.

由图象知直线y=1与y=|x2-4x+3|的图象有三个交点，即方程|x2-4x+3|=1也就是方程|x2-4x+3|-1=0有三个不相等的实数根，因此a=1.

答案：1

3.若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px- )(x∈R)，则f(x)的一个正周期为__________.

解析：由f(px)=f(px- )，

令px=u，f(u)=f(u- )=f[(u+ )- ]，∴T= 或 的整数倍.

答案： (或 的整数倍)

4.已知关于x的方程sin2x-2sinx-a=0有实数解，求a的取值范围.

解：a=sin2x-2sinx=(sinx-1)2-1.

∵-1≤sinx≤1，∴0≤(sinx-1)2≤4.

∴a的范围是[-1，3].

5.记函数f(x)= 的定义域为A，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.

(1)求A;

(2)若B A，求实数a的取值范围.

解：(1)由2- ≥0，得 ≥0，

∴x<-1或x≥1，即A=(-∞，-1)∪[1，+∞).

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0，得(x-a-1)(x-2a)<0.

∵a<1，∴a+1>2a.∴B=(2a，a+1).

∵B A，∴2a≥1或a+1≤-1，即a≥ 或a≤-2.

而a<1，∴ ≤a<1或a≤-2.

故当B A时，实数a的取值范围是(-∞，-2]∪[ ，1).

培养能力

6.(理)已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b≥0，c∈R).

若f(x)的定义域为[-1，0]时，值域也是[-1，0]，符合上述条件的函数f(x)是否存在?若存在，求出f(x)的表达式;若不存在，请说明理由.

解：设符合条件的f(x)存在，

∵函数图象的对称轴是x=- ，

又b≥0，∴- ≤0.

①当- <- ≤0，即0≤b<1时，

函数x=- 有最小值-1，则

或 (舍去).

②当-1<- ≤- ，即1≤b<2时，则

(舍去)或 (舍去).

③当- ≤-1，即b≥2时，函数在[-1，0]上单调递增，则 解得

综上所述，符合条件的函数有两个，

f(x)=x2-1或f(x)=x2+2x.

(文)已知二次函数f(x)=x2+(b+1)x+c(b≥0，c∈R).

若f(x)的定义域为[-1，0]时，值域也是[-1，0]，符合上述条件的函数f(x)是否存在?若存在，求出f(x)的表达式;若不存在，请说明理由.

解：∵函数图象的对称轴是

x=- ，又b≥0，∴- ≤- .

设符合条件的f(x)存在，

①当- ≤-1时，即b≥1时，函数f(x)在[-1，0]上单调递增，则

②当-1<- ≤- ，即0≤b<1时，则

(舍去).

综上所述，符合条件的函数为f(x)=x2+2x.