一. 教学内容：

数列的应用问题、数列的极限和数学归纳法

二. 教学要求：

1. 了解数列的一般应用问题，理解“复制”的概念及相关的应用问题，能建立较典型问题的数学模型。

2. 了解数列极限的概念，掌握极限的四则运算法则，会求某些数列的极限。

3. 理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

三. 知识串讲

1. 零存整取和按揭贷款问题（见例题选讲）

2. 数列极限的概念

3. 常用的极限

4. 数列极限的运算法则：

5. 无穷递缩等比数列的各项和

{an}为等比数列，|q|＜1则称{an}为无穷递缩等比数列。

6. 求数列极限的常用方法

①求分子、分母都含有关于n的代数式或指数式的数列的极限，可将分子分母同除以分母的最高次幂（即无穷小量分出法），再求极限。

②利用有理化因子变形；

③求和式极限时，一般先求和，再求极限；

⑤求含有参数的式子的极限时，注意对参数的值进行分类讨论，分别确定极限是否存在，若存在求出值。

7. 数学归纳法

数学归纳法是一种证明与自然数n有关的数学命题的证明方法。

（1）数学归纳法的步骤：（分三步）

①验证n取第一个值n0时命题f(n0)正确。（是递推基础）；

②假设n＝k（k∈N，k≥n0）时命题f(k)正确，证明n＝k＋1时命题f(k＋1)也正确。（是递推的依据）；

③由①、②可知对任意n≥n0命题f(n)都正确。（结论）。

（2）用数学归纳法证明命题f(n)时，难点在第二步。即假设n＝k，f(k)成立，推出n＝k＋1时f(k＋1)也成立，在推导中必须用到“归纳假设”，而此步骤证明的是“结构相同”。

如：用数学归纳法证明

∴等式成立。

则n＝k＋1时

（与k时的结构相同）

∴当n＝k＋1时，等式也成立。

解：由递推公式算出前几项

再用数学归纳法证明：…

【典型例题】

例1. 零存整取和按揭贷款问题

（1）利息计算：

①单利：每期都按初始本金计算利息，当期利息不计入下期本金。

例如：某人存入银行1万元现金，年利率5%，三年后一次性取出，本利和为多少？

结论：按单利计算，每期的本利和组成等差数列，按复利计算，每期的本利和组成等比数列。

（2）零存整取储蓄（单利）本利和计算模型，若每期存入本金P元，每期利率为r，当n期后，本利和为Sn。

P?D贷款 r?D利率 n?D还款期数

例如：某企业为筹划资金A元，以年利率r每年按复利计算利息。在当年年初借入，前m年这段时间内不还款，从第m＋1年开始每年末按一定的金额a元偿还，并在后继的n年中还清借款的本利和，试求a的表达式。

解：从借入之日到偿还付清须（m＋n）个年份，故A元的本利和是：

A(1＋r)^{m n}元 ①

而偿还金额的本利和是：

例2. 可化成递推关系的问题。

（1）等差型递推关系式：

（2）等比型递推关系式：

∴该职工第十二个月底有余款700元。

例3. 甲、乙两企业，2000年的销售量均为P（设2000年为第一年），根据市场分析和

①求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式；

②根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业年销售量的20%，则该企业将被另一企业收购。试判断，哪一个企业将被收购？这种情形将在哪一年出现？

解：设甲企业前n年的总销量为Sn，第n年的销量为an，乙企业第n年的销量为bn，则依题意可得：

解：

解：

解：

例5. 在一系列球中，第一个球的半径为1，第2个球的直径等于第一个球的半径，第3个球的直径等于第二个球的半径，依次类推，求所有这些球的表面积之和与体积之和。

解：设由球的半径组成的数列为{rn}

因此由这些球的表面积、体积都组成等比数列，

例6. 已知a＞0且a≠1，数列{an}是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn＝anlgaⁿ（n∈N）。

①求数列{bn}的前n项和Sn；

解：<0" style='width:225.75pt; >

<6" style='width:198pt; >

<7" style=' >

<8" >

例7. 用数学归纳法证明不等式

显然，左端＞右端；所以n＝1时，原不等式成立。

②假设当n＝k（k∈N）时不等式正确，即：

证明：

由①、②可知，对一切n∈N*，不等式均成立。

考虑：

解：

公式仍成立

【模拟试题】

（一）选择题

1. 某种电子产品面市时单价为a元/只，由于供不应求，连续提价三次，每次提高20%，经过一段时间后，市场开始疲软，厂家又采取了降价措施，若连续降价三次，每次降低17%，最后的价格为b元/只，则（ ）

A.

C. 元/m²，二层的价格为 元/m²，第i层（i≥4）的价格为

B.

D.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

4. 若数列{an}的通项公式是 （ ）

A. C.

5. 数列 ，则 （ ）

A. 1 B. 0 C. 2 D.

（二）填空题

6. 设等比数列 的公比为 ，且 ，则a1＝_______。

7. 如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为 的半圆后得到图形P2，然后依次剪去更小的半圆（其直径为前一被剪掉半圆的半径）得图形P3，P4，…，Pn，…。记纸板Pn的面积为Sn，则 ___________。

8. 用数学归纳法证明 第一步要证的不等式是_____________。

9. 在数列{an}中，已知a1＝2，l1：l2： 的交点为P1（x1，y1），且对于n≥2的自然数，两点（0，b），（ ）的连线与直线y＝ x交于点 。

（1）求P1，P2的坐标；

（2）猜想Pn的坐标公式，并证明。

【试题答案】

1. A

解析：

∴a＞b

2. B

解析：

3. B

解析：各层房的总价值为

4. C

解析：

即

5. A

解析：∵

∴

7.

解析：

两边相加：

8.

10. 解：设第n年后欠款为an

则第一年后欠款为20000×1.1－4000＝a1

第二年后欠款为

……

第十年后欠款为

即

而 ， ，…，4000分别是第一年后，第二年后，…第十年后各年所还欠款到第十年后的本息，看二者能否抵销。

11. 解：（1）解方程组

过（0，b），（ ，0）两点的直线方程为 。

（2）猜想 ，下面用数学归纳法证明：

①n＝2时，结论已被证；

②假设n＝k（k≥2）时，

，过（0，b），（