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方程式←→函数化

方程问题函数化，函数问题方程化，这两化把方程的思想，函数思想融为一体，相互转化，使“利用函数性质解题”这个数学的大课题生辉，诸如不等←→函数增、减等一系列的简单思维模式到处可用。

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)求极值方法之一是判别式法(函数问题方程化)∵方程ax2+bx+(c-y)=0有实根，∴△=b2-4a(c-y)≥0

4ay≥4ac-b2 a>0时 y≥■即

y小=■;a<0时，y≤■

即y大=■

例2.已知A、B是△ABC的两个内角，且tanA、tanB是方程x2+mx+m+1=0的两个实根，求实数m的取值范围。

韦达定理，和积关系→常见转化方式

■

∴A+B=45°→x1=tanA<1，x2=tanB<1

且都大于0。

难点如何定m的范围：函数化。

f(x)=x2+mx+m+1有二正根且都在(0，1)之间的条件：(△≥0不能保证根的范围)

对照图象：

■

(为什么不必△≥0?你能很清晰吗?)

解得：-1

这是典型的方程问题函数化，确定参数取值范围的试题。

例3.(2008上海 理11)方程x2+■x-1=0的解可视为函数y=x+■的图像与函数y=■的图像交点的横坐标，若x4+ax-4=0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)，所对应的点(x1，■)(i=1，2，…，k)均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是_________。

答案：(-∞，-6)∪(6，+∞)

●解法1：依题意x4+ax-4=0←→x3+a=■ 由图示及奇函数y=x3的图像关于原点对称的性质，得知当y=x3+a的图像从过B点起，向下平移或向上平移时，交点均在y=x同侧。

∵A(-2，2)，B(2，2)，∴把A、B坐标代入y=x3+a得a=-6或a=6，故a<-6或a>6即为所求。

●解法2：依题意，结合图形分析，■，得y=a+8或y=a-8

分别令y<2或y>-2，得a<-6或a>6。

[点拨评析]作为一道综合性较强、分值不高的填空题，从“数形结合”的思想出发，通过作图开辟解题思路，简明、具体。试题本身就在提示你，“数形结合”可以作为一种思维模式，实现方程化←→函数化的完美结合。

解题的通式、通法都可以从中提炼出可操作的模式，形成思维规律。如解不等式sinx>■。如下思维操作定能“做一题，通一类”。

1.结合周期T=2π，可先找x∈(0，2π)的解集，再一般化;2.结合函数值的符号先肯定或否定两个区间：sinx>■，Ⅲ、Ⅳ象限均不是解;3.结合单位圆先找相等的界限sinx=■，x=■或x=■;4.根据函数单调性，作取舍

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