好多老师又要忙着为同学们写教案、备课。教案的制作需要清晰地思路，条理的章程，精品学习网编辑了高二数学教案：向量的数量积，欢迎老师们参考借鉴!

8.2(2) 向量的数量积(2)

教学目标设计

1.深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件;

2.掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法;

3.初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题,领略向量的数量积的数学价值;

4.通过对问题的分析研究,体会数学思考的过程.

教学重点及难点

重点:向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用;

难点:向量的夹角公式的应用.

教学用具准备

直尺,投影仪

教学过程设计

一.情景引入:

1.复习回顾

(1)两个非零向量的夹角的概念:

对于两个非零向量 ,如果以 为起点,作 ,那么射线 的夹角 叫做向量 与向量 的夹角,其中 .

(2)平面向量数量积(内积)的定义:

如果两个非零向量 的夹角为 ( ),那么我们把 叫做向量 与向量 的数量积,记做 ,即 .并规定 与 任何向量的数量积为0.

(3) “投影”的概念:

定义: 叫做向量 在 方向上的投影.

投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为直角时投影为0;当? = 0?时投影为 ;当? = 180?时投影为 .

(4)向量的数量积的几何意义:

数量积 等于 的长度与 在 方向上投影 |的乘积.

(5)向量的数量积的运算性质:

对于 ,有

(1) 当且仅当 时, =

(2)

(3)

(4)

2.分析思考:

(1)类比实数的运算性质,向量的数量积结合律 是否成立?

学生通过讨论,回答: 一般不成立

(2)如果一个物体在大小为2牛顿的力 的作用下,向前移动1米,其所做的功的大小为1焦耳,问力 的方向与运动方向的夹角是否为 ?

分析:设该物体在力 的作用下产生位移 , 所做的功为 , 与 的夹角为 , 则由 知

二.学习新课:

1.向量的夹角公式:

在学习了向量数量积的定义之后,我们很容易推导出两个非零向量 的夹角 满足

因此,当 时, ,反之,当 时, .考虑到 可与任何向量垂直,所以可得:

两个向量 垂直的充要条件是 .

2.例题分析

例1:化简: .(课本P66例2)

解:

=

=

=

例2:已知 ,且 与 的夹角为 ,求 .(课本P66例3)

解:

所以

例3:已知 , 垂直,求 的值.(课本P66例4)

解: 因为 垂直,所以

化简得

即

由已知 ,可得

解得 .

所以,当 时, 垂直.

例4:已知 、 都是非零向量,且 与 垂直, 与 垂直,求 与 的夹角.

解:由 ①

②

两式相减:

代入①或②得:

设 、 的夹角为?,则

∴? = 60?

3.问题拓展

例5.利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角.

证明:设AB是⊙O直径,半径为r

设 ,则 ; ,则

则

,即∠ACB是直角.

三.巩固练习

1已知 ,(1)若 ∥ ,求 ;

(2)若 与 的夹角为60°,求 ;?

(3)若 与 垂直,求 与 的夹角.

2已知 ,向量 与 的位置关系为( )

A.平行 B.垂直? C.夹角为 D.不平行也不垂直

3已知 , 与 之间的夹角为 ,则向量 的模为( )

?A.2 B.2 ? C.6 D.12

4已知 与 是非零向量,则 是 与 垂直的( )

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件?

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

四.课堂小结

1.向量的数量积及其运算性质;

2.两向量的夹角公式;

3.两个向量垂直的充要条件;

4.求向量的模、两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法.

五.作业布置

练习8.2(1) P67 T2、T3、T4 ; P35 T3 、 T4

思考题

1已知向量 与 的夹角为 , ,则| + |?| - |= .

2已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中 、 是直角坐标系中 轴、 轴正方向上的单位向量,那么 = .

3已知 ⊥ 、 与 、 的夹角均为60°,且 则 =_____ _.???

4对于两个非零向量 与 ,求使 最小时的t值,并求此时 与 的夹角.

5求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和

教学设计说明及反思

本节课是在上节课学习了向量的数量积的概念、向量的数量积的运算性质之后.再一次抛出物理模型问题,学生通过交流、分析.讨论,解决问题.进一步推而广之,由数量积的定义,通过变形十分容易的导出向量的夹角公式.并推出了两向量垂直的充要条件.之后,通过例题分析,学生体验了运用向量的数量积的定义和运算性质求向量的模、向量的夹角、以及研究一些简单几何问题的过程.学生获取了知识、掌握了方法、提高了技能、训练了能力.

高二数学教案：向量的数量积是不是很有意义呢？各位同学和老师在阅读的同时也要注意开拓思维，注重积累，这样才能更好的提高自己，精品学习网伴你成长!