教案包括教材简析和学生分析、教学目的、重难点、教学准备、教学过程及练习设计等。小编为大家精心准备了2013高三数学教案：数列，希望大家喜欢!

一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

1.数列的概念及表示方法

(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数.

(2)表示方法：列表法、解析法(通项公式法和递推公式法)、图象法.

(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列;按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列.

(4) 与 的关系： .

2.等差数列和等比数列的比较

(1)定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列;从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数(不为0)的数列叫做等比数列.

(2)递推公式： .

(3)通项公式： .

(4)性质

等差数列的主要性质：

①单调性： 时为递增数列， 时为递减数列， 时为常数列.

②若 ，则 .特别地，当 时，有 .

③ .

④ 成等差数列.

等比数列的主要性质：

①单调性：当 或 时，为递增数列;当 ，或 时，为递减数列;当 时，为摆动数列;当 时，为常数列.

②若 ，则 .特别地，若 ，则 .

③ .

④ ，…，当 时为等比数列;当 时，若 为偶数，不是等比数列.若 为奇数，是公比为 的等比数列.

三、考点剖析

考点一：等差、等比数列的概念与性质

例1. (2008深圳模拟)已知数列

(1)求数列 的通项公式; (2)求数列

解：(1)当 ;、

当 ，

、

(2)令

当 ;

当

综上，

点评：本题考查了数列的前n项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n=1时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想.

例2、(2008广东双合中学)已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， . 数列 是等比数列， (其中 ).

(I)求数列 和 的通项公式;(II)记 .

解：(I)公差为d，

则 .

设等比数列 的公比为 ，

.

(II)

作差：

.

点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以2后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。

考点二：求数列的通项与求和

例3.(2008江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第 行( )从左向右的第3个数为

解：前n-1 行共有正整数1+2+…+(n-1)个，即 个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第 +3个，即为 .

点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。

例4.(2008深圳模拟)图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第 个图形包含 个“福娃迎迎”，则 　　　　; ____

解：第1个图个数：1

第2个图个数：1+3+1

第3个图个数：1+3+5+3+1

第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1

第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1= ，

所以，f(5)=41

f(2)-f(1)=4 ，f(3)-f(2)=8，f(4)-f(3)=12，f(5)-f(4)=16

点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。

考点三：数列与不等式的联系

例5.(2009届高三湖南益阳)已知等比数列 的首项为 ，公比 满足 。又已知 ， ， 成等差数列。

(1)求数列 的通项

(2)令 ，求证：对于任意 ，都有

(1)解：∵ ∴ ∴

∵ ∴ ∴

(2)证明：∵ ，

∴

点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第(2)问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。

例6、(2008辽宁理) 在数列 ， 中，a1=2，b1=4，且 成等差数列， 成等比数列( )

(Ⅰ)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测 ， 的通项公式，并证明你的结论;

(Ⅱ)证明： .

解：(Ⅰ)由条件得 由此可得

.

猜测 .

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立.

②假设当n=k时，结论成立，即

，

那么当n=k+1时，

.

所以当n=k+1时，结论也成立.

由①②，可知 对一切正整数都成立.

(Ⅱ) .

n≥2时，由(Ⅰ)知 .

故

综上，原不等式成立.

点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.

例7. (2008安徽理)设数列 满足 为实数

(Ⅰ)证明： 对任意 成立的充分必要条件是 ;

(Ⅱ)设 ，证明： ;

(Ⅲ)设 ，证明：

解： (1) 必要性 ： ，

又 ，即

充分性 ：设 ，对 用数学归纳法证明

当 时， .假设

则 ，且

，由数学归纳法知 对所有 成立

(2) 设 ，当 时， ，结论成立

当 时，

,由(1)知 ，所以 且

(3) 设 ，当 时， ，结论成立

当 时，由(2)知

点评：本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。

考点四：数列与函数、概率等的联系

例题8.. (2008福建理) 已知函数 .

(Ⅰ)设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点 (n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点(n,Sn)也在y=f′(x)的图象上;

(Ⅱ)求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值.

(Ⅰ)证明：因为 所以 ′(x)=x2+2x,

由点 在函数y=f′(x)的图象上,

又 所以

所以 ,又因为 ′(n)=n2+2n,所以 ,

故点 也在函数y=f′(x)的图象上.

(Ⅱ)解: ,

由 得 .

当x变化时, ﹑ 的变化情况如下表:

x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞)

f′(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

注意到 ,从而

①当 ,此时 无极小值;

②当 的极小值为 ,此时 无极大值;

③当 既无极大值又无极小值.

点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.

例9 、(2007江西理)将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数

列的概率为(　　)

A. B. C. D.

解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有 个，其中为等差数列有三类：(1)公差为0的有6个;(2)公差为1或-1的有8个;(3)公差为2或-2的有4个，共有18个，

成等差数列的概率为 ，选B

点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。

考点五：数列与程序框图的联系

例10、(2009广州天河区模拟)根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为 ;

(Ⅰ)求数列 的通项公式 ;

(Ⅱ)写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn};

的一个通项公式yn，并证明你的结论;

(Ⅲ)求 .

解：(Ⅰ)由框图，知数列

∴

(Ⅱ)y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.

由此，猜想

证明：由框图，知数列{yn}中，yn+1=3yn+2

∴

∴

∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。

∴ +1=3•3n-1=3n

∴ =3n-1( )

(Ⅲ)zn=

=1×(3-1)+3×(32-1)+…+(2n-1)(3n-1)

=1×3+3×32+…+(2n-1)•3n-[1+3+…+(2n-1)]

记Sn=1×3+3×32+…+(2n-1)•3n，①

则3Sn=1×32+3×33+…+(2n-1)×3n+1 ②

①-②，得-2Sn=3+2•32+2•33+…+2•3n-(2n-1)•3n+1

=2(3+32+…+3n)-3-(2n-1)•3n+1

=2× =

∴

又1+3+…+(2n-1)=n2

∴ .

点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视。

四、方法总结与2010年高考预测

(一)方法总结

1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项;一是根据递推关系式求通项。

2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。

3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。

(二)2010年高考预测

1. 数列中 与 的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意 与 的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。

2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.

3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题;有容易题、中等题，也有难题。

4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.

5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.

6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。

7、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。

五、复习建议

在进行数列二轮复习时，建议可以具体从

以下几个方面着手:

1.运用基本量思想(方程思想)解决有关问题;

2.注意等差、等比数列的性质的灵活运用;

3.注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用;

4.注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式;

5.根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳;

6.掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系;

7.根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列;

8.掌握一些数列求和的方法

(1)分解成特殊数列的和

(2)裂项求和

(3)“错位相减”法求和

9.以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用.

以上关于数列二轮复习的几点建议仅供复习时参考，各校应根据自己的实际情况进行增减，四星以下的学校应重在基础，对于数列的综合问题可略讲，甚至不讲.

2013高三数学教案：数列是不是很有意义呢？各位同学和老师在阅读的同时也要注意开拓思维，注重积累，这样才能更好的提高自己，精品学习网伴你成长!