高三年级抛物线数学教案

抛物线数学教案点 ，以A、B为端点的曲线段C上任一点到 的距离与到点N的距离相等。若 为锐角三角形， ，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。

解：以直线 为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段C的端点。

设曲线段C的方程为 ，其中 为A、B的横坐标， ，所以 ，由 ，得 　　(1)

(2)，(1)(2)联立解得 ，代入(1)式，并由

解得 ，因为 为锐角三角形，所以 ，故舍去 ，所以

由点B在曲线段C上，得 ，综上，曲线段C的方程为

[思维点拔]本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。

例4. 设抛物线 的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且 ，证明直线AC经过原点O。

证明一：设AB：

由韦达定理，得

则 ，故直线AC经过原点O。

证明二：见教材P125页。

[思维点拔]本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力，在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到 这个重要结论，还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目。

例5、(备用)设抛物线 的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心，︱AB︱为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M，N。点P是MN的中点。

(1)求︱AM︱+︱AN︱的值

(2)是否存在实数a，恰使︱AM︱︱AP︱︱AN︱成等差数列?若存在，求出a，不存在，说明理由。

解：(1)设M,N,P在抛物线准线上的射影分别为M′,N′,P′.

︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=xM+xN+2a 又圆方程

将 代入得

得︱AM︱+︱AN︱=8

(2)假设存在a

因为︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱

所以︱AP︱=︱PP′︱ ，P点在抛物线上，这与P点是MN的中点矛盾。故a不存在。

例6、(备用)抛物线 上有两动点A，B及一个定点M，F为焦点，若 成等差数列

(1) 求证线段AB的垂直平分线过定点Q

(2) 若 (O为坐标原点)，求抛物线的方程。

(3) 对于(2)中的抛物线，求△AQB面积的最大值。

解：(1)设 ，则 ， ， ，由题意得 ， 的中点坐标可设为 ，其中

(否则 )，

而 ，故AB的垂直平分线为 ，即 ，可知其过定点

(2)由 ，得 ，联立解得 。

(3)直线AB： ，代入 得 ， ，

，又点 到AB的距离 ，

令 ，则 ，令 即 ，得 或 或 ， 时 。

[思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。

三、课堂小结：全面精确地掌握抛物线的定义，方程以及它的基本量是把握问题的关键。对圆锥曲线综合问题的处理也需多多的感悟。

四、作业布置：教材P125闯关训练

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