下面是关于高三数学导数及其应用教案，这个教案详细的介绍了关于高三数学导数及其应用的知识点，希望借助这个教案，老师把知识清楚的传授给自己的学生。

3.1导数的概念

知识梳理

1.平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，即一段时间或一段位移内的速度; 若物体的运动方程为 则物体从 到 这段时间内的平均速度 ;一般的，函数 在区间 上的平均变化率为 。

2. 瞬时速度：是某一时刻或位置物体的速度，方向与物体运动方向相同。我们测量的瞬时速度是用很短时间内的平均速度来代替的，是对物体速度的一种粗略的估算。当平均速度 中的 无限趋近于0 时，平均速度 的极限称为在时刻 的瞬时速度 ，记作v= = 。求瞬时速度的步骤为：

(1)设物体的运动方程为 ;

(2)先求时间改变量 和位置改变量

(3)再求平均速度

(4)后求瞬时速度：瞬时速度v= =  .

3. 求函数 的导数的一般方法：

(1)求函数的改变量 .

(2)求平均变化率 .

(3)取极限，得导数 =  .

4. 上点( )处的切线方程为 ;

3.1.1  问题探索        求自由落体的瞬时速度

典例剖析

题型一  平均速度

例1.已知自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=  ，计算t从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒….各段内平均速度( )。

分析：先求出 ，再求出 ，即为各段时间内的平均速度。

解：设 指时间改变量; = 指路程改变量。

则 = ;

所以t从3秒到3.1秒平均速度  ;

t从3秒到3.001秒平均速度  ;

t从3秒到3.0001秒平均速度  ;

评析：通过对各段时间内的平均速度计算，可以思考在各段时间内的平均速度的变化情况;可见某段时间内的平均速度 随  变化而变化。

题型二  瞬时速度

例2.以初速度为 做竖直上抛运动的物体， 秒时的高度为 求物体在时刻t=m处的瞬时速度。

分析：先求出平均速度 , 求瞬时速度。

解：

所以物体在时刻m处的瞬时速度 。

评析：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.

备选题

例3：设函数 ，求：

(1)当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量 ;

(2)当自变量x由1变到1.1时，函数的增量 ;

(3)当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率;

解：(1)

(2)

(3)

评析：本题也可以由 直接求解。

点击双基

1. 在求平均变化率中，自变量的增量 (    )

A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.

解：故选D

2. 一质点的运动方程是，则在一段时间 内相应得平均速度为：(     )

A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.

解：平均速度= = = ，故选D

3、在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则 为(   )

A.Δx+ +2      B.Δx- -2       C.Δx+2             D.2+Δx-

解:  = =Δx+2，故选C

4.一物体位移s和时间t的关系是s=2t-3 ,则物体的初速度是

解：平均速度= =2-3t,当t趋向0时，平均速度趋向2.

5.  一个物体的运动方程为 其中 的单位是米， 的单位是秒，那么物体在 秒末的瞬时速度是

解：

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