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高三数学说课稿：抛物线

一、 内容简析：

1、知识梳理

定义

到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹

方程

1.y2=2px(p≠0)，焦点是F( ，0)

2.x2=2py(p≠0)，焦点是F(0， )

性质

以曲线C：y2=2px(p>0)为例

1.范围：x≥0

2.对称性：关于x轴对称

3.顶点：原点O

4.离心率：e=1

5.准线：x=-

6.焦半径P(x，y)∈S，|PF|=x+

2、重点、难点：

本节重点是抛物线的定义、四种方程及几何性质。难点是四种方程的运用及对应性质的比较、辨别和应用，关键是定义的运用。

建议在教学中注意以下几点：

1)圆锥曲线统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当01时，表示双曲线;

2)由于抛物线的离心率e=1，所以与椭圆及双曲线相比，它有许多特殊的性质，而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的;

3)抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离， 等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益;

4)求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程;

5)在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化;

6)在定义中，点F不在直线L上，否则轨迹不是抛物线。

二、 教学目标：

1、掌握抛物线的定义、标准方程和简单几何性质;

2、学会利用定义与简单的几何性质解决与抛物线有关的问题。

3、在教学中渗透辩证、全面看待事物的思想与方法。

三、点击双基

1.(2004年春季北京)在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为

A. B.1 C.2 D.4

答案：C

2.设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为

A.(a，0) B.(0，a)

C.(0， ) D.随a符号而定

答案：C

3.以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为

A.相交 B.相离

C.相切 D.不确定.

答案：C

4.以椭圆 + =1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点，则|AB|的值为___________.

答案：

5.(2002年全国)对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④抛物线的通径的长为5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1).

能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.(要求填写合适条件的序号)

答案：②⑤

四、典型例题：

【例1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

(1)过点(-3，2);

(2)焦点在直线x-2y-4=0上.

剖析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.

解：(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0)，

∵过点(-3，2)，

∴4=-2p(-3)或9=2p·2.

∴p= 或p= .

∴所求的抛物线方程为y2=- x或x2= y，前者的准线方程是x= ，后者的准线方程是y=- .

(2)令x=0得y=-2，令y=0得x=4，

∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，-2).

当焦点为(4，0)时， =4，

∴p=8，此时抛物线方程y2=16x;

焦点为(0，-2)时， =2，

∴p=4，此时抛物线方程为x2=-8y.

∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y，对应的准线方程分别是x=-4，y=2.

评述：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.

【例2】如下图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|= ，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.

剖析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x、y的取值范围.

解：以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段C的端点.

设曲线段C的方程为y2=2px(p>0)(xA≤x≤xB，y>0)，其中xA、xB为A、B的横坐标，p=|MN|，

所以M(- ，0) 、N( ，0).

由|AM|= ，|AN|=3，得

(xA+ )2+2pxA=17， ①

(xA- )2+2pxA=9. ②

①②联立解得xA= ，代入①式，并由p>0，

或

解得

p=4， p=2，

xA=1 xA=2.

因为△AMN为锐角三角形，所以 >xA.

所以

故舍去

P=2， P=4，

xA=2. xA=1.

由点B在曲线段C上，得xB=|BN|- =4.

综上，曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4，y>0).

评述：本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力.

【例3】 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.

剖析：证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证kOC=kOA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决.

证法一：设AB：x=my+ ，代入y2=2px，得y2-2pmy-P2=0.

由韦达定理，得yAyB=-p2，

即yB=- .

∵BC∥x轴，且C在准线x=- 上，

∴C(- ，yB).

则kOC= = = =kOA.

故直线AC经过原点O.

证法二：如下图，记准线l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D.

则AD∥EF∥BC.连结AC交EF于点N，则 = = ， = .

∵|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，

∴|EN|= = =|NF|，

即N是EF的中点.从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O.

评述：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到yA·yB=-p2这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目.

五、闯关训练

一)、夯实基础

1.(2003年高考·新课程)设a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0， ]，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为

A.[0， ] B.[0， ]

C.[0，| |] D.[0，| |]

.答案：B

2.(2004年全国Ⅰ，8)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是

A.[- ， ] B.[-2，2]

C.[-1，1] D.[-4，4]

答案：C

3.(2003年春季上海)直线y=x-1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是___________.

答案：(3，2)

4.在抛物线y=4x2上求一点，使该点到直线y=4x-5的距离最短，该点的坐标是____________.

答案：( ，1).

5.下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程是y=ax2+c(a<0)，D=(6，7)为x轴上的给定区间.

(1)为使物体落在D内，求a的取值范围;

(2)若物体运动时又经过点P(2，8.1)，问它能否落在D内?并说明理由.

答案：运动物体能落在D内.

6.正方形ABCD中，一条边AB在直线y=x+4上，另外两顶点C、D在抛物线y2=x上，求正方形的面积.

答案：50

二)、培养能力

7.给定抛物线y2=2x，设A(a，0)，a>0，P是抛物线上的一点，且|PA|=d，试求d的最小值.

答案dmin= .

8.过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦AB，点A、B在抛物线准线上的射影为A1、B1，求∠A1FB1.

解：由抛物线定义及平行线性质知∠A1FB1=180°-(∠AFA1+∠BFB1)

=180°- (180°-∠A1AF)- (180°-∠B1BF)

= (∠A1AF+∠B1BF)=90°.

三)、实际应用

某大桥在职涨水时有最大跨度的中央桥孔的上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米，且该货船在现在状况下还可多装1000吨货物，但每装150吨货物，船体吃水线就要上升0。04米，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?为什么?

四)、探究创新

9.(2003年春季北京)已知动圆过定点P(1，0)，且与定直线l：x=-1相切，点C在l上.

(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;

(2)设过点P，且斜率为- 的直线与曲线M相交于A、B两点.

①问△ABC能否为正三角形?若能，求点C的坐标;若不能，说明理由.

②当△ABC为钝角三角形时，求这时点C的纵坐标的取值范围.

解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x，如下图.

(2)①由题意得，直线AB的方程为

y=- (x-1).

消去y，得3x2-10x+3=0.

由

y=- (x-1)，

y2=4x，

解得A( ， )，B(3，-2 )，

若△ABC能为正三角形，

设C(-1，y)，则|AC|=|AB|=|BC|，

∴

( +1)2+( -y)2=(3- )2+(2 + )2， ①

(3+1)2+(2 +y)2=(3- )2+(2 + )2. ②

解得y=- .

但y=- 不符合(1)，所以①②组成的方程组无解.因此直线l上不存在点C使△ABC是正三角形.

②设C(-1，y)使△ABC成钝角三角形，由

得y=2 ，

y=- (x-1)，

x=-1，

即当点C的坐标为(-1，2 )时，A、B、C三点共线，故y≠2 .

又|AC|2=(-1- )2+(y- )2= - +y2，|BC|2=(3+1)2+(y+2 )2=28+4 y+y2，|AB|2=( )2= .

当|BC|2>|AC|2+|AB|2，

即28+4 y+y2> - y+y2+ ，

即y> 时，∠CAB为钝角.

当|AC|2>|BC|2+|AB|2，

即 - y+y2>28+4 y+y2+ ，

即y<- 时，∠CBA为钝角.

又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即

> - +y2+28+4 y+y2，即

y2+ y+ <0，(y+ )2<0.

该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是

y<- 或y> (y≠2 ).

六、思悟小结

本节主要内容是抛物线的定义、方程及几何性质.解决本节问题时应注意以下几点：

1.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法.

2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算.

3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质.

拓展题例

【例题】 (2003年北京东城区模拟题)已知抛物线C1：y2=4ax(a>0)，椭圆C以原点为中心，以抛物线C1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为 ，过抛物线C1的焦点F作倾斜角为 的直线l，交椭圆C于一点P(点P在x轴上方)，交抛物线C1于一点Q(点Q在x轴下方).

(1)求点P和Q的坐标;

(2)将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程.

七、板书设计(略)

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