本篇文章为同学们整理了高中数学余弦定理的定义公式，文章中包括：余弦定理定义、余弦定理平面几何证法、余弦定理数学应用、余弦定理求边及练习题，下面就一起来学习吧。

余弦定理

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍。

即在三角形ABC中,已知AB=c,BC=a,CA=b,则有：

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

c2=a2+b2-2abcosC

余弦定理平面几何证法

在任意△ABC中，做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB*c)2

b2=(sinB^2+cosB^2)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

余弦定理数学应用

余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：

当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。

余弦定理求边

如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

练习题：

一、选择题

1．在△ABC中，符合余弦定理的是(　　)

A．c2＝a2＋b2－2abcos C

B．c2＝a2－b2－2bccos A

C．b2＝a2－c2－2bccos A

D．cos C＝a2＋b2＋c22ab

解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．

2．(2011年合肥检测)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是(　　)

A.1213　　　　　　　　 B.513

C．0 D.23

解析：选C.∵c＞b＞a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝0.

3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是(　　)

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．不能确定

解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC是钝角三角形．

4．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为(　　)

A.π3 B.π6

C.2π3 D.π3或2π3

解析：选C.由已知得b2＋c2－a2＝－bc，

∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，

又∵0＜A＜π，∴A＝2π3，故选C.

5．在△ABC中，下列关系式

①asin B＝bsin A

②a＝bcos C＋ccos B

③a2＋b2－c2＝2abcos C

④b＝csin A＋asin C

一定成立的有(　　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立．对于②由正弦定理知sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，则不一定成立．

6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于(　　)

A.14 B.34

C.24 D.23

解析：选B.∵b2＝ac，c＝2a，

∴b2＝2a2，

∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a•2a

＝34.

二、填空题

7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.

解析：由余弦定理，

得BC2＝AB2＋AC2－2AB•AC•cosA，

即49＝25＋AC2－2×5×AC×(－12)，

AC2＋5AC－24＝0.

∴AC＝3或AC＝－8(舍去)．

答案：3

8．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．

解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42＋52－2×4×5×12＝21，∴第三边长是21.

答案：21

9．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________．

解析：由正弦定理，

得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8.

不妨设a＝5k，b＝7k，c＝8k，

则cos B＝5k2＋8k2－7k22×5k×8k＝12，

∴B＝π3.

答案：π3

三、解答题

10．已知在△ABC中，cos A＝35，a＝4，b＝3，求角C.

解：A为b，c的夹角，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，

∴16＝9＋c2－6×35c，

整理得5c2－18c－35＝0.

解得c＝5或c＝－75(舍)．

由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝16＋9－252×4×3＝0，

∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.

11．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，求C的大小．

解：由题意可知，

(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，

于是有a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，

即a2＋b2－c22ab＝12，

所以cos C＝12，所以C＝60°.

12．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．

解：由余弦定理知cos B＝a2＋c2－b22ac，代入c＝acos B，

得c＝a•a2＋c2－b22ac，∴c2＋b2＝a2，

∴△ABC是以A为直角的直角三角形．

又∵b＝asin C，∴b＝a•ca，∴b＝c，

∴△ABC也是等腰三角形．

综上所述，△ABC是等腰直角三角形．