2013国家公务员行测：数学运算之剩余定理

【例1】一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几?

【解析】题中3、4、5三个数两两互质。

则〔4，5〕=20;〔3，5〕=15;〔3，4〕=12;〔3，4，5〕=60。

为了使20被3除余1，用20×2=40;

使15被4除余1，用15×3=45;

使12被5除余1，用12×3=36。

然后，40×1+45×2+36×4=274，

因为，274>60，所以，274-60×4=34，就是所求的数。

【例2】一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几?在1000内符合这样条件的数有几个?

【解析】题中3、7、8三个数两两互质。

则〔7，8〕=56;〔3，8〕=24;〔3，7〕=21;〔3，7，8〕=168。

为了使56被3除余1，用56×2=112;

使24被7除余1，用24×5=120。

使21被8除余1，用21×5=105;

然后，112×2+120×4+105×5=1229，

因为，1229>168，所以，1229-168×7=53，就是所求的数。

再用(1000-53)/168得5,所以在1000内符合条件的数有6个。

【例3】一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。

【解析】题中5、8、11三个数两两互质。

则〔8，11〕=88;〔5，11〕=55;〔5，8〕=40;〔5，8，11〕=440。

为了使88被5除余1，用88×2=176;

使55被8除余1，用55×7=385;

使40被11除余1，用40×8=320。

然后，176×4+385×3+320×2=2499，

因为，2499>440，所以，2499-440×5=299，就是所求的数。

【例4】有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人?

【解析】题中9、7、5三个数两两互质。

则〔7，5〕=35;〔9，5〕=45;〔9，7〕=63;〔9，7，5〕=315。

为了使35被9除余1，用35×8=280;

使45被7除余1，用45×5=225;

使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×5+225×1+126×2=1877，

因为，1877>315，所以，1877-315×5=302，就是所求的数。

关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法

“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。

【例一】一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少?

解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4。看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7+4=46。下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足

“被6除余4，被7除余4”的条件。

46+42=88

46+42+42=130

46+42+42+42=172

【例二】一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生?

解法：题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加4，直到所得的数除5余3。得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2”

4+7=11

11+7=18

18+35=53

【例1】在国庆50周年仪仗队的训练营地，某连队一百多个战士在练习不同队形的转换。如果他们排成五列人数相等的横队，只剩下连长在队伍前面喊口令。如果他们排成七列这样的横队，只有连长仍然可以在前面领队，如果他们排成八列，就可以有两个作为领队了。在全营排练时，营长要求他们排成三列横队。

以一哪项是最可以出现的情况?

A该连队官兵正好排成三列横队。

B除了连长外，正好排成三列横队。

C排成了整齐的三列横队，加有两人作为全营的领队。

D排成了整齐的三列横队，其中有一人是其他连队的

【解析】这个数符合除以5余1，除以7余1，除以8余2;

符合除以5余1，除以7余1的最小数为36，那么易知符合除以5余1，除以7余1，除以8余2为106，106÷3=35余1，所以选B。

【习题一】1到500这500个数字，最多可取出多少个数字，保证其取出的任意三个数字之和不是7的倍数。

【解析】

每7个数字1组，余数都是1，2，3，4，5，6，0，要使得三个数字之和不是7的倍数，那么其余数之和就不是7的倍数。

我们应该挑选0，1，2，或者0，5，6

因为7/3=2也就是说最大的数字不能超过2，例如如果是1，2，3那么我们可以取3，3，1这样的余数，其和就是7

500/7=71余数是3，且剩下的3个数字余数是1，2，3

要得去得最多，那么我们取0，1，2比较合适因为最后剩下的是1，2，3所以这样就多取了2个

但是还需注意0不能取超过2个如果超过2个是3个以上的话3个0就可以构成7的倍数0也能被7整除

所以答案是71个1，2和剩下的一组1，2外加2个0 

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