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一、差分法基础

那么什么是差分法呢?我们举例说明。

例如，我们需要比较21513/5213和21041/5107的大小，我们把分子分母都大的分数称为分数，如这里的21513/5213，把另一个称为小分数，这里是21041/5107，把大分数和小分数的分子分母分别做差得到的新分数称为差分数，这里的差分数即为：

之后我们将差分数代替大分数，再与小分数进行比较，若差分数比小分数大，则大分数比小分数大;若差分数比小分数小，则大分数比小分数小;若差分数与小分数相等，则大分数与小分数相等。

这里因为472/106>21041/5107，则21513/5213比21041/5107大，差分后的比较可以采用直除法或者化同法等解决。

值得一提的是，差分法是一种精确的计算方法，而非估算，有时候为了得到结果甚至需要进行两次差分法，考生在遇到此类题型时，需考虑差分法和直除法、化同法等速算方法的灵活结合，简化计算。

【例1】

比较32.3/101和32.6/103的大小

【解析】

先求出差分数，为32.6-32.3/103-101=0.3/2，再将差分数代替大分数与小分数比较，0.3/2=30/200<32.3/101，因此32.6/103<32.3/101。

值得注意的是，使用差分法时，得到的差分数一定是代替大分数与小分数进行比较的，考生一定不要用错。

二、差分法原理

那么为什么可以使用差分法，它的原理如何?为了便于理解，我们举个例子：

想象有一瓶溶液A，我们加入一定量溶液B，最后混合为溶液C，那么我们可以把溶液A当作小分数，溶液B当作差分数，溶液C当作大分数。为了比较溶液A和溶液C的浓度大小，我们只需看溶液B的浓度与溶液A的浓度大小即可，即添加溶液B的过程，是“稀释”还是“变浓”。

【例2】

表格中是三个城市(分别为A、B、C城)2006年GDP及其增长情况，请根据表中数据回答：

城市GDP(亿元)GDP增长率占全省的比例

A城873.212.50%23.9%

B城984.37.8%35.9%

C城1093.417.9%31.2%

1、B、C两城2005年GDP哪个更高?

2、A、C两城所在的省份2006年GDP量哪个更高?

【解析】

1、根据表中数据得到，B、C两城2005年的GDP分别为984.3/1+7.8%和1093.4/1+17.9%;根据分子与分母都相差不大的特点，使用“差分法”：

小分数：984.3/1+7.8% 大分数：1093.4/1+17.9%

差分数：109.1/10.1%

显然，差分数=109.1/10.1%>1000>984.3/1+7.8%=小分数，所以大分数>小分数

故C城2005年的GDP更高。

2、根据表中数据，先求出A、C两城所在的省份2006年的GDP分别为873.2/23.9%和1093.4/31.2%;同样采用“差分法”：

小分数：873.2/23.9% 大分数：1093.4/31.2%

差分数：220.2/7.3%=660.6/21.9%

第二次，将差分数当作二次小分数，原小分数当作二次大分数，二次差分数为：212.6/2%=2126/20%因为2126/20%>660.6/21.9%，即是二次差分数>二次小分数，则小分数>差分数，所以原小分数>原大分数，即873.2/23.9%>1093.4/31.2%。因此2006年A城所在的省份GDP更高。

三、差分法变式

有时我们会遇到乘法的比较，例如要比较a×b与a′×b′的大小，如果a与a′相差很小，b与b′相差也很小，可以考虑将乘法a×b与a′×b′的比较转化为除法a/b′与a′/b的比较，就可以使用差分法解决了。

【例3】

比较32053.3×23487.1和32048.2×23489.1的大小。

【解析】

因为两组乘子的相差都很小，考虑采用差分法解决。要比较32053.3×23487.1和32048.2×23489.1的大小，可以先比较32053.3/23489.1和32048.2/23487.1的大小，

大分数：32053.3/23489.1 小分数：32048.2/23487.1

差分数：5.1/2

因为差分数=5.1/2>2>32048.2/23487.1=小分数，所以大分数=32053.3/23489.1>32048.2/23487.1=小分数，即32053.3×23487.1>32048.2×23489.1。

结语：如上所示，差分法在资料分析中处理这类数据的能力是巨大的，这种方法连同直除法、化同法都是考生需要掌握的速算方法，考生可于平时练习中熟练运用。

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