行测数量关系指导-剩余定理

编辑:sx_liss

2014-09-23

行测数量关系指导-剩余定理

一、中国剩余定理的由来

我国古代数学名著《孙子算经》中,记载这样一个问题: “今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何。”用现在的话来说就是:“有一批物品,3个3个地数余2个,5个5个地数余3个,7个7个地数余2个,问这批物品最少有多少个?” 这个问题的解题思路,被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。

二、“中国剩余定理”算理及其应用

明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀:

三人同行七十(70)稀,五树梅花廿一(21)枝,

七子团圆正月半(15),除百零五(105)便得知。

歌诀中每一句话都是一步解法:第一句指除以3的余数用70去乘;第二句指除以5的余数用21去乘;第三句指除以7的余数用15去乘;第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105,就减去105的倍数,就得到答案了。即:70×2+21×3+15×2-105×2=23

为什么这样解呢?因为70是5和7的公倍数,且除以3余1。21是3和7的公倍数,且除以5余1。15是3和5的公倍数,且除以7余1。(任何一个一次同余式组,只要根据这个规律求出那几个关键数字,那么这个一次同余式组就不难解出了。)把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数,再把三个积加起来是233,符合题意,但不是最小,而105又是3、5、7的最小公倍数,去掉105的倍数,剩下的差就是最小的一个答案。

三、“中国剩余定理”的应用

主要是是针对那些我们学的口诀“公倍数做周期:余同取余,和同加和,差同减差”以外的余数问题的题目。

例1、一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?

A、81  B、34  C、128  D、103

【答案】B 解析:本题属于余数问题。题中3、4、5三个数两两互质。则〔4,5〕=20;〔3,5〕=15;〔3,4〕=12;〔3,4,5〕=60。

为了使20被3除余1,用20×2=40;

使15被4除余1,用15×3=45;

使12被5除余1,用12×3=36。

然后,40×1+45×2+36×4=274。

 

因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数。所以选择B选项。

例2、一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是几?

A、53  B、34  C、128  D、73

【答案】A 解析:本题属于余数问题。题中3、7、8三个数两两互质。则〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=168。

为了使56被3除余1,用56×2=112;

使24被7除余1,用24×5=120。

使21被8除余1,用21×5=105;

然后,112×2+120×4+105×5=1229。

因为,1229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的数。所以选择A选项。

例3、一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数。

A、24  B、46  C、299  D、73

【答案】C 解析:本题属于余数问题。题中5、8、11三个数两两互质。则〔8,11〕=88;〔5,11〕=55;〔5,8〕=40;〔5,8,11〕=440。

为了使88被5除余1,用88×2=176;

使55被8除余1,用55×7=385;

使40被11除余1,用40×8=320。

然后,176×4+385×3+320×2=2499。

因为,2499>440,所以,2499-440×5=299,就是所求的数。所以选择C选项。

例4、有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?

A、95  B、116  C、99  D、302

【答案】D 解析:本题属于余数问题。题中9、7、5三个数两两互质。则〔7,5〕=35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;〔9,7,5〕=315。

为了使35被9除余1,用35×8=280;

使45被7除余1,用45×5=225;

使63被5除余1,用63×2=126。

然后,280×5+225×1+126×2=1877。

因为,1877>315,所以,1877-315×5=302,就是所求的数,所以选择D选项。

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