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一、整除的概念

如果一个整数a，除以一个自然数b，(b≠0)得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a。

二、数的整除特征

1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5. 能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6. 能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7. 能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、举例验证

例如：判断123456789这九位数能否被11整除?

解：这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20。因为25-20=5，5不能被11整除，所以123456789不能被11整除。

例如：判断1059282是否是7的倍数?

解：把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282=777，777是7的倍数，所以1059282也是7的倍数。

例如：判断3782651能否被13整除?

解：把3782651分为3782和651两个数。因为3782-651=3131。再把3131分为3和131两个数，因为131-3=128，而128不能被13整除，所以3782651不能被13整除。

四、实战演练

例1.下列四个数都是六位数，X是比10小的自然数，Y是零，一定能同时被2、3、5整除的数是多少?

A.XYXYXY B.XXXYXX C.XYYXYY D.XYYXYX

【答案】A。解析：该数“一定能同时被2、3、5整除”，则根据2、3、5的整除特性可知，该数的尾数只能为0，且各位数字之和能被3整除。根据题意，Y 是零且X和Y不能同时为零，故Y只能为尾数，排除B、D，根据3的整除特性，A项各位数字之和为3X，一定能被3整除，而C项各位数字之和为2X，不一定能被3整除，综上，选择A。

例2.六位数X2010Y能被88整除，则X、Y的取值分别为多少?

A.X=9，Y=4 B.X=7，Y=4 C.X=9，Y=8 D.X=8，Y=4

【答案】B。解析：能被88整除的数，即同时能够被8和11整除，根据8的整除特性，即数的后三位能够被8整除，所以10Y能被8整除，解得Y=4;根据 11的整除特性，奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除，即2+1+Y-(0+0+X)=7-X，结合选项当X=7时，差为0，能够被11整除，因此可得X=7，Y=4，选择B。

例3.有一个自然数“X”，除以4的余数是3，除以5的余数是4，问“X”除以20的余数是多少?

A.4 B.5 C.12 D.19

【答案】D。解析：这个数加上1后可以整除4、5，因此也可以整除20。那么原数除以20余数是19

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