【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。

两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则

从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次?

A、2 B、3 C、4 D、5

【答案及解析】B。题目没说是迎面还是背面，所以两种相遇的次数都应该计算。

法一：根据相遇全程数。如果是迎面相遇，则走的全程的个数为 个，根据迎面相遇n次，走的全程为2n-1=5，求得n=3;如果是背面相遇，则走的全程数为 ，故在1分50秒内，不能背面相遇。所以共相遇3次。

法二：根据相遇时间。第一次迎面相遇时间为 秒走一个全程。共110秒，共110÷20=5.5个，走的全程数为2n-1=5个，求得n=3;如果是背面相遇，则第一次相遇的时间为 秒>110秒，故不能背面相遇。

{类型三}：告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求AB两地的距离。

【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行

45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，

则A、B相距多少千米?

A、90 B、180 C、270 D、110

【答案及解析】A。法一：相同时间，甲、乙路程比为45：36=5：4，则将全程分成9份。则一个全程时甲走5份，乙走4份。以甲为研究对象，第2次相遇，走的全程数为2×2-1=3个，则甲走的份数为3×5=15份，一个全程为9份，则第2次相遇甲走的份数转化为全程的个数为15÷9=1…6份，1个全程后在乙端，则从乙端数6份。第3次相遇走的份数为(2×3-1)×5=25份，转化为全程的个数为25÷9=2…7，2个全程后在甲端，则从甲端数7份。如下图：

由图第2次和第3次相遇之间共有4份为40千米，则AB相距 =90千米。

法二：除了上述基础公式的利用，我们也可以引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度。将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比，则以时间为刻度，画出两人到达对岸的路线图，两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点。s-t图中的路线因像古代记时间的沙漏故称为“沙漏模型”。本题中，甲、乙走到端点用的时间比为36：45=4：5。如下图：

根据路线图看出甲乙第2次相遇和第3次相遇的交点E和O，根据三角形相似，可得CE:EG=3:6=1:2，则求得第2次相遇距A地的比例为S/3，同理DO:ON=7：2，则第3次相遇距A地的比例为7S/9，则两次相遇比例为 为40千米，则S=90千米。

w点评：考生如果能掌握“沙漏”模型，则在解决多次相遇问题时会更显直观。用交点判断是迎面相遇还是背面相遇的技巧：看相交的两条线是由同一岸引出还是两岸，同一岸则说明是背面相遇，不同岸则说明是迎面相遇。

用时注意：一般题干涉及到的相遇次数较少时可画，相遇次数太多，则会花费大量时间，不利于提高速度;画时的单位刻度要看时间比，如果时间比中的数据较大可把刻度画大。

{类型四}：告诉两人的速度，相遇次数较少时，利用s-t图形成“沙漏”模型速解。

【例5】A、B两地相距950米。甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时。甲步行，每

分钟走40米;乙跑步，每分钟行150米。则甲、乙二人迎面相遇距B地最近时，最近距离

是多少?

A、150 B、200 C、250 D、300

【答案及解析】B。利用“沙漏模型”。甲乙走到端点用的时间比为150：40=15：4，半小时两人共走的全程数为 个。对于单岸型，相遇6个全程，则是迎面第三次相遇(由前边公式推出)画出s-t图：

观察上图可知，在3次迎面相遇的过程中，甲乙有一次背面相遇(交点由同一点引出)。而在三次迎面相遇中第2次相遇离B地最近，根据三角形相似AO:OF=AC:EF=16:3，则距B点的距离为 米。

【例6】河道赛道长120米，水流速度为2米/秒，甲船静水速度为6米/秒，乙船静水速度

为4米/秒。比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点出发，先顺水航行，问多少秒后甲、

乙船第二次迎面相遇?

A、48 B、50 C、52 D、54

【答案及解析】C。由题知，得出如下关系：

顺流逆流

甲8(15)4(30)

乙6(20)2(60)

注：( )中为走完全程的时间。

假设A到B是顺流，由上表可知甲、乙两人第2次迎面相遇共有4个全程。由于甲的速度快，则第2次相遇前甲已走了2个全程。共15+30=45秒。当第45秒时乙走了一个顺流全程20秒和25秒的逆流，走的路程为25×2=50米，则在剩余的70米内，甲乙分别以顺流和逆流相遇时间为t，则有70=(8+2)×t，求得t=7秒，则共用时间45+7=52秒。