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差分法

“差分法”是在比较两个分数大小时，用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式难以解决时可以采取的一种速算方式。

适用形式：

两个分数作比较时，若其中一个分数的分子与分母都比另外一个分数的分子与分母分别仅仅大一点，这时候使用“直除法”、“化同法”经常很难比较出大小关系，而使用“差分法”却可以很好地解决这样的问题。

基础定义：

在满足“适用形式”的两个分数中，我们定义分子与分母都比较大的分数叫“大分数”，分子与分母都比较小的分数叫“小分数”，而这两个分数的分子、分母分别做差得到的新的分数我们定义为“差分数”。例如：324/53.1与313/51.7比较大小，其中324/53.1就是“大分数”，313/51.7就是“小分数”，而324-313/53.1-51.7=11/1.4就是“差分数”。

“差分法”使用基本准则——

“差分数”代替“大分数”与“小分数”作比较：

1、若差分数比小分数大，则大分数比小分数大;

2、若差分数比小分数小，则大分数比小分数小;

3、若差分数与小分数相等，则大分数与小分数相等。

比如上文中就是“11/1.4代替324/53.1与313/51.7作比较”，因为11/1.4>313/51.7(可以通过“直除法”或者“化同法”简单得到)，所以324/53.1>313/51.7。

特别注意：

1、“差分法”本身是一种“精算法”而非“估算法”，得出来的大小关系是精确的关系而非粗略的关系;

2、“差分法”与“化同法”经常联系在一起使用，“化同法紧接差分法”与“差分法紧接化同法”是资料分析速算当中经常遇到的两种情形。

3、“差分法”得到“差分数”与“小分数”做比较的时候，还经常需要用到“直除法”。

4、如果两个分数相隔非常近，我们甚至需要反复运用两次“差分法”，这种情况相对比较复杂，但如果运用熟练，同样可以大幅度简化计算。

【例1】比较7/4和9/5的大小

【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：

大分数 小分数

9/5 7/4

9-7/5-1=2/1(差分数)

根据：差分数=2/1>7/4=小分数

因此：大分数=9/5>7/4=小分数

提示：

使用“差分法”的时候，牢记将“差分数”写在“大分数”的一侧，因为它代替的是“大分数”，然后再跟“小分数”做比较。

【例2】比较32.3/101和32.6/103的大小

【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：

小分数 大分数

32.3/101 32.6/103

32.6-32.3/103-101=0.3/2(差分数)

根据：差分数=0.3/2=30/200<32.3/101=小分数(此处运用了“化同法”)

因此：大分数=32.6/103<32.3/101=小分数

[注释] 本题比较差分数和小分数大小时，还可采用直除法，读者不妨自己试试。

提示(“差分法”原理)：

以例2为例，我们来阐述一下“差分法”到底是怎样一种原理，：

显示了一个简单的过程：将Ⅱ号溶液倒入Ⅰ号溶液当中，变成Ⅲ号溶液。其中Ⅰ号溶液的浓度为“小分数”，Ⅲ号溶液的浓度为“大分数”，而Ⅱ号溶液的浓度为“差分数”。显然，要比较Ⅰ号溶液与Ⅲ号溶液的浓度哪个大，只需要知道这个倒入的过程是“稀释”还是“变浓”了，所以只需要比较Ⅱ号溶液与Ⅰ号溶液的浓度哪个大即可。

【例3】比较29320.04/4126.37和29318.59/4125.16的大小

【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：

29320.04/4126.37 29318.59/4125.16

1.45/1.21

根据：很明显，差分数=1.45/1.21<2<29318.59/4125.16=小分数

因此：大分数=29320.04/4126.37<29318.59/4125.16=小分数

[注释] 本题比较差分数和小分数大小时，还可以采用“直除法”(本质上与插一个“2”是等价的)。

【例4】比较32053.3×23487.1和32048.2×23489.1的大小

【解析】32053.3与32048.2很相近，23487.1与23489.1也很相近，因此使用估算法或者截位法进行比较的时候，误差可能会比较大，因此我们可以考虑先变形，再使用“差分法”，即要比较32053.3×23487.1和32048.2×23489.1的大小，我们首先比较32053.3/23489.1和32048.2/23487.1的大小关系：

32053.3/23489.1 32048.2/23487.1

5.1/2

根据：差分数=5.1/2>2>32048.2/23487.1=小分数

因此：大分数=32053.3/23489.1>32048.2/23487.1=小分数

变型：32053.3×23487.1>32048.2×23489.1

提示(乘法型“差分法”)：

要比较a×b与a′×b′的大小，如果a与a'相差很小，并且b与b'相差也很小，这时候可以将乘法a×b与a′×b′的比较转化为除法ab′与a′b的比较，这时候便可以运用“差分法”来解决我们类似的乘法型问题。我们在“化除为乘”的时候，遵循以下原则可以保证不等号方向的不变：

“化除为乘”原则：相乘即交叉。

直除法”是指在比较或者计算较复杂分数时，通过“直接相除”的方式得到商的首位(首一位或首两位)，从而得出正确答案的速算方式。“直除法”在资料分析的速算当中有非常广泛的用途，并且由于其“方式简单”而具有“极易操作”性。

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