{模型二}：告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。

【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。

两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则

从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次?

A、2 B、3 C、4 D、5

{模型三}：告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求AB两地的距离。

【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行

20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，

则A、B相距多少千米?

A、95 B、100 C、105 D、110

【答案及解析】C。走相同时间内，甲乙走的路程比为20：50=2：5。将全程看成7份，则第一次相遇走1个全程时，甲走2份，乙走5份。以甲为研究对象(也可以以乙)，第10次迎面相遇走的全程数为2×10-1=19个，甲走1个全程走2份，则走19个全程可走19×2=38份。7份是一个全程，则38份共有38÷7=5…3份(当商是偶数时从甲的一端数，0也是偶数;当商是奇数时从乙的一端数，比如第1个全程在乙的一端，第2个全程在甲的一端)从乙端数3份。同理当第18次相遇，甲走的份数为(2×18-1)×2=70份。共有70÷7=10个全程，10为偶数在甲的端点。如下图：

则第10次相遇与第18次相遇共有4份为60千米，所以AB长为(60/4)×7=105千米。

点评：对于给定任意两次的距离，主要是根据速度转化为全程的份数，找一个为研究对象，看在相遇次数内走的全程数，从而转化为份数，然后根据一个全程的份数，将研究对象走的总份数去掉全程的个数看剩余的份数，注意由全程的个数决定剩余的份数从哪一端数。

【例4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行

45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，

则A、B相距多少千米?

A、90 B、180 C、270 D、110

【答案及解析】A。法一：同上题。相同时间，甲、乙路程比为45：36=5：4，则将全程分成9份。则一个全程时甲走5份，乙走4份。以甲为研究对象，第2次相遇，走的全程数为2×2-1=3个，则甲走的份数为3×5=15份，一个全程为9份，则第2次相遇甲走的份数转化为全程的个数为15÷9=1…6份，则从乙端数6份。第3次相遇走的份数为(2×3-1)×5=25份，转化为全程的个数为25÷9=2…7，则从甲端数7份。如下图：

由图第2次和第3次相遇之间共有4份为40千米，则AB相距(40/4)×9=90千米。

法二：在此引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度。将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比，则以时间为刻度，画出两人到达对岸的路线图，两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点。s-t图中的路线因像古代记时间的沙漏故称为“沙漏模型”。本题中，甲、乙走到端点用的时间比为36：45=4：5。如下图：

根据路线图看出甲乙第2次相遇和第3次相遇的交点E和O，根据三角形相似，可得CE:EG=3:6=1:2，则求得第2次相遇距A地的比例为S/3，同理DO:ON=7：2，则第3次相遇距A地的比例为7S/9，则两次相遇比例为

为40千米，则S=90千米。

点评：考生如果能掌握“沙漏”模型，则会直观快速的提高解题速度。用交点判断是迎面相遇还是背面相遇的技巧：看相交的两条线是由同一岸引出还是两岸，同一岸则说明是背面相遇，不同岸则说明是迎面相遇。

用时注意：一般题干涉及到的相遇次数较少时可画，相遇次数太多，则会花费大量时间，不利于提高速度;画时的单位刻度要看时间比，如果时间比中的数据较大可把刻度画大。

{模型四}：告诉两人的速度，相遇次数较少时，利用s-t图形成“沙漏”模型速解。

【例5】A、B两地相距950米。甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时。甲步行，每

分钟走40米;乙跑步，每分钟行150米。则甲、乙二人第几次迎面相遇时距B地最近。

A、1 B、2 C、3 D、4

【答案及解析】B。利用“沙漏模型”。甲乙走到端点用的时间比为150：40=15：4，半小时两人共走的全程数为

个。对于单岸型，相遇6个全程，则是迎面第三次相遇(由前边公式推出)画出s-t图：

观察上图可知，可第3次迎面相遇的过程中，甲乙有一次背面相遇(交点由同一点引出)。而在三次迎面相遇中第2次相遇离B地最近，并且可根据三角形相似求出离B地的距离。

【例6】河道赛道长120米，水流速度为2米/秒，甲船静水速度为6米/秒，乙船静水速度

为4米/秒。比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点出发，先顺水航行，问多少秒后甲、

乙船第二次迎面相遇?

A、48 B、50 C、52 D、54