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关键词：数据包络分析 模糊数 α截集 Monte Carlo模拟

内容摘要：论文提出了对模糊区间数采用Monte Carlo模拟进行排序求解方法，并将其应用于模糊DEA求解方法中，其基本思想是：将α截集转化为线性变量，通过求解，不仅能得到目标函数的乐观及悲观状态下的极值，而且还能得到各变量最适宜的α值，然后引入Monte Carlo模拟方法进行排序。通过算例说明该方法的有效性。

◆ 中图分类号：O221.5 文献标识码：A

引言

常规数据包络分析的C2R模型解决的是DMU的输入和输出是固定值的问题，事实上，在实际应用过程中，无论是事件本身的不确定性还是我们对事件描述的不确定性，许多DMU的输入、输出指标无法用精确数据取值。然而，DEA是一种数据敏感性的方法，测度误差、信息不完全等非精确因素往往会影响有效性评判，所以，用传统的DEA模型很难对这些DMU的输入输出带有模糊性的问题进行有效性评判(马风才，2007)。

对于模糊条件下的DEA建模问题，国内外的许多研究者均对此问题进行了大量的探讨，研究方法各异，但以三角形模糊数为研究核心的文献居多，他们的不足之处在于模型具有限定条件，解决的问题范围比较窄(马风才，2007)。

模糊决策单元的相对有效性评价值是一个模糊数，与实数相比，它的排序要复杂得多。作为模糊集理论的重要内容之一，模糊集的排序问题很早就受到人们的关注。不过与普通实数不同，模糊集之间的顺序关系不是通常意义下的全序关系，而是格结构下的半序关系(黄朝峰，2005)，这使得模糊集之间的比较相当困难。近几年来，关于模糊数的排序理论和方法的研究取得了许多成果，提出了模糊数排序的许多方法，而基于α截集的排序方法是主流方法(孟凡永等，2008)。

本文提出了基于α截集的三角形模糊数DEA模型，通过求解乐观和悲观模糊DEA有效性的解，采用Monte Carlo模拟方法进行排序，为多参数、模糊性强的多个决策单元的DEA求解及排序提供了一个高效率的计算机化解决方案，供有关方面决策参考。

模糊DEA 模型

由Charnes 和Cooper等人于1978年开始创建的数据包络分析(Data Envelopment Analysis，DEA)的C2R模型是一种基于线性规划的方法，它的数学表达式如下：

(1)

其中，n是决策单元(Decision Making Unit，DMU)的个数，每个DMU都有m种输入和s种输出，Xj=[xj1,xj2,…,xjm]t >0和Yj=[yj1,yj2,…,yjs]t >0分别是第j个DMU的输入和输出，u和v分别是m种输入和s种输出的权系数。

假设要评价n个DMU，输入向量X=[x1,x2,…,xm]t和Y=[y1,y2,…,ym]t输出向量的分量元素都是具有四位间隔数的模糊数。每个DMUj( j=1,2,…,n)均有m项输入和s项输出，则其模糊数可记为xij=( x1ij,x2ij,x3ij,x4ij)，( i=1,2,…,m)及yij=(y1ij,y2ij,y3ij,y4ij)，(r=1,2,…,s)，对于一个任意的α截集值，输入和输出项的三角形模糊数上限xuij、yuij及下限xlij、ylij可由公式(2)~(5)计算：

(2)

(3)

(4)

(5)

令λi=αivi，i=1,…,m，在此0≤λi≤vi;同样，令ηr=αrur，r=1,…,s，在此0≤ηr≤ur。则有下式产生：

(6)

(7)

(8)

(9)

根据DEA评价的经济含义，我们不难判断，在一定的置信水平α下，被评价决策单元的DMUo的输入取最小值，输出取最大值，而参考决策单元的输入取最大值，输出取最小值，显然DMUo的DEA有效性取得最大值;而当被评价决策单元的DMUo的输入取最大值，输出取最小值，参考决策单元的输入取最小值，输出取最大值，DMUo的DEA有效性取得最小值。将(6)~(9)式代入(1)式，可得到乐观及悲观状态下DEA有效的线性求解模型(10)～(11)。

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