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由几种密度和弹性常数不同的材料按一定结构排列而成的复合功能材料就称为声子晶体。当弹性波在声子晶体中传播时，受其内部周期结构的作用会形成特殊的能带结构(色散关系)[1，2]，如带隙、局域共振模等。目前声子晶体的研究主要集中在带隙的产生条件、影响因素以及如何控制带隙范围等方面。声子晶体因其在减振降噪、滤波、波导等方面有着广泛的潜在应用前景，已经引起了众多学者的关注。准周期结构声子晶体就是继周期结构声子晶体之后提出的又一复合功能材料，但其带隙的计算方法却不多。King[3]等基于实验研究了准周期结构声子晶体中的弹性波波导行为;曹永军[4]等基于模式匹配法研究了弹性波在准周期结构声子晶体中的透射系数。在准周期序列中[5]，Fibonacci序列是介于无序和周期之间的一种典型结构，而Thue-Morse(TM)序列是介于Fibonacci序列和周期之间的一种过渡类型，考虑到有限元法[6，7]可以用来准确地计算周期结构声子晶体的带隙特性且已有很多成熟的商用软件(ANSYS、MSC等)。因此本文提出一维杆状TM准周期结构声子晶体模型，采用ANSYS模拟其带隙特性并与周期结构进行了比较。发现TM序列准周期结构声子晶体可以有效地拓宽带隙宽度且能降低起始频率，同时在带隙范围内出现了具有高品质因子的局域共振模;此外还研究了TM序列的代次、材料排序、材料参数对其带隙特性的影响，为准周期结构声子晶体的广泛应用提供了参考。

1TM序列的带隙特性

Thue-Morse(TM)序列如下:设S1=AB为第1代TM序列，按照A→AB、B→BA的规则依次生成诸如ABBABAAB…的TM序列，则第n代TM序列中包含2n个元素，其中A和B的数目总是相等的。考虑两种均匀各向同性的细长杆弹性材料A和B，它们截面相同，长度分别为aA和aB，把它们按TM序列排列，就形成了一维杆状TM准周期结构声子晶体(见图1)。为了与周期结构(ABABAB…)对应起来，在每一级TM序列中，认为a=aA+aB是1个(准)晶格常数，即对应1个(准)周期结构，故第n代TM序列有2n-1个(准)周期结构。A、B两种材料分别选取环氧树脂(epoxy)和铝考虑实际工程中的杆状结构只能是有限长度，同时避免系统太短而无法体现TM序列的性质，选择第4代TM序列在有限元分析软件ANSYS中建立系统模型，施加如图1所示的轴向位移谐波激励。为便于比较，运用相应材料建立相同几何模型的周期结构。当不同频率的谐波通过TM序列准周期结构声子晶体和周期结构声子晶体时，得到如图2所示的带隙特性。研究后发现，无论是TM序列还是周期序列都出现了带隙(本文中均指第1带隙)。带隙是弹性波在声子晶体中传播时大量散射过程构成的复杂多散射行为综合的最终结果，在其带隙范围内禁止弹性波的传播。因此对弹性波而言声子晶体就是一个有效的带阻滤波器。不同的是，周期结构声子晶体的带隙范围较窄(4.85kHz～12.1kHz)，但衰减较强;TM序列准周期结构声子晶体的带隙范围较宽(3.4kHz～11.kHz)且降低了起始频率，这为TM序列准周期结构声子晶体在低频减振方面的应用提供了参考。另外，在TM序列的结构中，带隙范围内出现了具有高品质因子的局域共振模且行成了一个很窄的通带(6.6kHz～7.25kHz)。研究表明，在周期结构的声子晶体中引入缺陷态时[8]，缺陷态对应频率的弹性波就被局域在缺陷处或沿缺陷传播，表现为带隙范围内产生了局域共振模。TM序列是介于Fi-bonacci序列和周期之间的一种过渡类型，就其本身而言是无序的，如同Fibonacci准周期结构一样，在它的带隙范围内也产生了局域共振模且品质因子很高，也就是说TM序列准周期结构就相当于在周期结构中引入了缺陷态，所以可以借助TM序列准周期结构的声子晶体来制作滤波、波导等器件。

2带隙特性的影响因素

2.1TM序列代次的影响比较(1)式、(2)式可知，偶数代和奇数代TM序列的组成结构有所不同。因此从相邻的两代序列、相邻的两偶数代序列及相邻的两奇数代序列出发，讨论由TM序列代次引起的结构变化对TM序列准周期结构声子晶体带隙特性的影响，所得结果如图3a)～图3c)所示。研究后发现，在不同代次的TM序列下所得其带隙范围相同，只是代数越大衰减越强，即不同代次的TM序列不影响其带隙范围。为便于比较，同时给出相应周期结构声子晶体的传输系数(图3d))，研究后也发现其带隙范围相同，周期数越大衰减越强。对周期结构而言，这是因为周期数改变并没有改变其周期结构。由此可知，虽然不同代次的TM序列引起了结构变化，但其也有着类似周期结构相对稳定的准周期特性，这使得TM序列准周期结构声子晶体的广泛应用成为了可能。为研究方便起见，除特殊说明外下文均采用第4代此外，随着TM序列代次的变大，在约2kHz～3kHz的范围内出现了一个衰减程度逐渐增强的带隙且具有高品质因子的局域共振模(见图4)，这一特征更加有益于TM序列准周期结构声子晶体在低频减振、滤波等方面的应用。

2.2材料排序的影响研究表明，对周期结构声子晶体而言，材料排序会影响到周期结构振动中的表面局域态[7]，致使其带隙的截止频率降低，带宽减小，同时在带隙范围内会出现一个共振峰且衰减程度明显减弱。现在考虑材料排序对一维杆状TM准周期结构声子晶体带隙特性的影响，结合上节对TM序列特性的讨论，分别计算了其第4代—第7代TM序列的传输系数，所得结果见图5。分析图5a)～图5d)后发现，对第4代和第6代TM序列而言，两种材料排序下的带隙特性完全重合;对第5代和第7代TM序列而言，两种材料排序下的带隙范围完全相同，只是衰减程度略有不同。由此可知，在选择TM序列准周期结构声子晶体时，可以不用考虑材料排序对其表面局域态的影响。为研究方便起见，下文均采用A-B对应环氧树脂-铝的材料顺序。此外还可以预测:改变一维杆状TM序列准周期结构声子晶体的材料排序，不改变第2k(k=2，3，…)代TM序列的带隙特性;不改变第2k+1(k=2，3，…)代TM序列的带隙范围，但衰减程度略有不同。

2.3材料参数的影响对周期结构声子晶体而言，改变材料参数(这里指密度和弹性模量)可以达到改变其带隙范围[2]的目的，那么对TM序列准周期结构声子晶体而言，材料参数的影响又如何呢?下面从材料A和B的密度、弹性模量出发，来研究其对TM序列准周期结构声子晶体带隙特性的影响，所得结果如图6所示。分析图6a)～图6d)后发现:(1)增大材料B密度或减小材料A弹性模量，带隙的起始频率和截止频率都在降低，且截止频率移动的幅度稍大，故带隙宽度在减小，但衰减程度在逐渐增强;(2)增大材料A密度，带隙起始频率没变，截止频率向低频方向移动，带隙宽度减小，衰减程度减弱;(3)增大材料B弹性模量，带隙起始频率没变，截止频率向高频方向移动，带隙宽度增大，衰减程度增强。因此，对TM准周期结构声子晶体而言，通过适当的材料组合来增大彼此之间弹性模量和密度之差，就可以获得更低频的带隙且范围较宽，这对实际工程中的减振降噪十分有益。3对比验证曹永军[9]等基于模式匹配法计算了弹性波通过一维复合材料系统的透射系数，得到了其透射谱图，其中关于准周期结构声子晶体的带隙特性与本文模拟的TM准周期结构声子晶体的结果一致;基于传递矩阵法计算得到的有限周期结构一维声子晶体的传输系数[1]与本文模拟的周期结构声子晶体的结果也一致。可见采用ANSYS模拟一维杆状TM准周期结构声子晶体得到的带隙特性是正确的，对其带隙特性影响的讨论也是可信的。

4结论

本文提出了一维杆状Thue-Morse(TM)准周期结构声子晶体模型，采用ANSYS模拟了其带隙特性且研究了对其带隙特性的影响因素，得到了如下结论:1)利用TM序列准周期结构声子晶体可以有效地拓宽带隙宽度且能降低起始频率，而且在带隙范围内产生了具有高品质因子的局域共振模。2)不同代次的TM序列不影响其带隙的频率范围，但代次越高衰减越强。此外，随着TM序列代次的增大，会出现一个衰减渐强的小带隙(2kHz～3kHz)且有共振峰。3)改变其材料的组合顺序，不改变偶数代TM序列的带隙特性，不改变奇数代TM序列的带隙范围，对衰减程度略有影响。4)得到了材料参数(密度和弹性模量)对其带隙范围的影响规律，这使得获得更低频带隙成为了可能。以上结论可供一维杆状TM准周期结构声子晶体的设计和实际应用参考。

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