摘要：数学教育中建构主义30 年的发展成果主要体现在如下9 个方面：联结理论、数学概念扎根于行动或行为或工具、学生推理模式和发展顺序、学生创造表征形式和多元表征形式、“ 社会—建构” 主义标准、新的研究主题、评价、教学和教师教育、以及方法等，而其未来发展则有望在整合了“ 社会—文化” 观的数学模式化研究方面取得突破，并进一步促使其成为一项全球性的事业．

关键词：数学教育；建构主义；发展与反思；主要成就；未来发展

伴随着国际数学教育心理学组织的发展壮大，建构主义也在不断地发展．反思建构主义对数学教育历史发展所产生的作用是一项极有意义的事情，它不仅能够为我们提供各种机会来审视已经取得的成绩，而且还能够帮助我们辨别那些尚未解决或尚未得到解释的问题：（1）建构主义早期历史的发展：3 个来源；（2）建构主义主导地位的确立：争论不休；（3）建构主义十大原理：整体框架；（4）建构主义的主要成就：理论与实践；（5）建构主义的未来发展：进步、倒退、抑或停止？本文仅就后两个问题展开探讨．

1 建构主义的主要成就：理论与实践建构主义对数学教育及其研究的影响不仅在于其理论贡献，而且也表现在它所拥有的特殊的实践方面，概括起来有以下9 个方面．

1.1 联结理论

正如宏大理论或范式理论一样，建构主义过于一般化，以至于它不能直接深入到课堂．不同的人用不同的方式解释了这种差距：建构主义是一个学习理论而不是教学理论；建构主义对于数学或者数学的某些特殊分支领域（譬如，几何、乘法结构等）来说，还不够具体；建构主义遗失的成分主要是实践的艺术——课程、技术或者评价等．为此，数学教育心理学中的联结理论力图弥补这个差距．其实，联结理论的例子不计其数，譬如，弗莱登塔尔等关于现实主义数学教育的研究、关于加法和乘法概念域的研究、关于高级数学思维的理论研究、教学工程、建模和应用，派里和基兰的“ 概念发展阶段的描述” 的理论研究工作，以及认知指导教学等．现实主义数学教育既是一种方法也是一整套课程资源．

从20 世纪60 年代开始，弗莱登塔尔就已经率先提出了数学化概念，这个概念由两个基本成分组成：水平数学化和垂直数学化．水平数学化是指“ 学生创造出数学工具，这种工具有助于他们组织和解决真实生活情境中的问题” ；垂直数学化是指“ 在数学系统本身内部重新组织的过程” ．两者之间的区别最终形成了启发式方法，启发式方法包括“ 引导式再创造”（guided reinvention）和“ 教学现象学”（didacticalphenomenology），在把“ 引导式再创造” 和“ 教学现象学”与涉及到可量化的知识的应用实践相联系时，它们为学生提供了教学方法的根本要素，这也有利于促进学生强化对抽象概念的理解．伴随着“ 新课程” 的发展，德朗厄开始关注中学高年级数学的应用和评价，而格雷迈杰尔则进一步拓展了这项研究，并开始关注“ 涌现模式化”（emergent modeling）的概念．

在所有这些努力中，我们可以看到建构主义原理之间的清晰联系，这些原理包括了数学表征的是什么的解释性理论、学生如何增强灵活使用符号的能力、在这个过程中进行反思的重要性、在社会和互动情境中分辨教师和学生观点的重要性、质疑观察者的立场的重要性、以及收集有关学生观点的证据的重要性等．高级数学思维的研究是可以说明建构主义和课堂实践之间的联结理论．在高级数学思维的研究领域中，理论源于对很多学生在形式知识和非形式知识之间存在鸿沟的认识，学生已经学会正确地再生形式定义，但在他们的非形式知识中还存在诸多矛盾．从塔尔和维纳辨别概念意象和概念定义之间的区别开始，这个研究传统中的研究者试图重新明确建构主义最初的复杂概念的根源．譬如，维纳关于函数概念意象的研究就表明：尽管学生能够相对准确地背诵函数的形式定义，但他们仍然要用特殊的例子来进行推理，而这与形式定义不一致．譬如，当意象以部分的形式呈现时，学生会认为它不是一个函数，尽管它符合了正规的标准，因此，弄清楚学生在想什么并且推断他们所想的内容究竟反映了什么内涵，是建构主义观的主要因素．上述研究促使高级数学思维以及一直发展到现在的数学教育心理学研究共同体的形成．这些研究还包括了道迪的教学外部目标、斯法德的概念二重性、格雷和塔尔的“ 过程对象” 概念、以及杜宾斯基的APOS（行动、过程、对象和图式）模式等．所有这些研究都力图解释情境化的行动导向概念是如何转变成更高的抽象水平的．他们力图解释概念的具体化发展过程，在数学领域中，在一个水平上使用的概念，成为在下一个水平上行动的对象．尽管有些人批评这种方法过于线性化，过度狭隘的关注缺乏情境的抽象概念，但这些研究仍然与建构主义保持着密切联系，尤其是在把反思性抽象作为一种发展高级思维方式来使用时，它有助于教育者在引导学生建立数学概念的过程中更加关注学生思维的发展．在某种程度上，它扩展了数学研究的视野，强调在各个水平上思考学生猜想、反思和发展的需要．

1.2 数学概念扎根于行动及行为和工具

数学教育中大部分建构主义的最初想法都源于一个共同的认知，即数学概念在根本上扎根于行动和行为当中．在数学教育心理学30 年的发展过程中，我们目睹了全球各地的研究者用各种不同方式开发数学概念的源泉．生成性方法就源于这种方法，即对日常工作中的行为与在学校或更为正式的任务中的行为进行比较．尽管这种研究传统最终演化成情境化学习、人种学数学，并典型地把自我与“ 社会—文化”
观作为一种宏大理论联系起来，但其中有很多概念仍然是建构主义传统中概念发展的基础．这些研究还促使研究者探究学生所使用的策略和方法，并使得这些策略和方法合法化．金斯伯格从扩展性临床访谈观察开始他的研究，并提出学生思维不是变化无常的．卡米则使用“ 皮亚杰方法” 来发展各种各样的方法，以便灵活使用操作性方法和相关资料，这有助于年轻学生理解算术；她尤为关注资料处理和运算是如何转变成记号和符号应用的．对行动的关注逐渐扩展到数学教育领域：行动即数学思想的源泉，它突破了对操作性物体和日常物体的应用，并开始思考不同工具的潜在生成性．研究者对这种行动的潜在源泉的兴趣主要在于代数和函数概念的形成，他们把这项工作置于17 世纪的曲线图画设计当中．他们的研究工作表明了历史研究的潜在价值，也表明了曲线的代数描述并不能形成一个f(x)的形式，因为在这种形式表示中，自变量产生了因变量．即使笛卡儿平面正如他所建构的那样并不取决于垂直轴，但我们还是需要确定这些垂直轴以便描述曲线．通过相似性和比例推理阐明代数和几何之间的联系，解释了代数和几何之间的关联性，且函数的代数表达式根植于不同的工具，这些工具可以用来建构不同曲线，它要比带有直边和锁链设计的罗盘的传统建构更为优越．此外，随着动态几何学的逐步应用，它被当作一种强有力的表征媒体用来进一步开发这些概念．在这一点上，学生能够认识到，是曲线种类的不变性质而不是尺度的不变性质，是函数族的确定性特征．有人进一步扩展了这些研究，并创造出新的设计来开发学生推理的资源，并且运动探测器和其它设计都提供了数学探索的潜在资源．在2003 年召开的第27 届数学教育心理学大会上，内米洛夫斯基和伯巴就组织了题为“ 数学学习中的感知—运动活动和想象力” 的研究论坛：讨论若干设计（譬如，水轮、带有图形计算器的感知器、软件，与迷你小汽车相联系的LBM）是如何把学生不同的课外体验融入不同主题（譬如，中学代数、函数、算法和动态系统的介绍）的教与学当中的．此外，这次论坛还成为《数学教育研究》所讨论的专题，它主要以视频论文的形式出版．多媒体技术用全新的方法把学生的声音带到了数学教育研究当中，不仅学生的声音可以真切地听见，而且阅读者或观察者可以用不同方式体验身体语言及其与标准数学表征形式（譬如，图形）、与人工制品之间的互动联系．我们可以在上述案例中明确地看到建构主义的根基：强调学生声音的概念以及它是如何对教师或研究者的观点产生影响的，也强调他们的思想是如何被他人模仿的．在理解不同情境和语境中的给定概念的过程中，差异已经成为这类研究的一个重要标志，并且大量文献也记录了不同学生在互动过程中是如何发展和创造各种各样的观点的．新技术替代了具体的活动，从这些物理环境到新技术的应用，虽然微小却是影响深远的一步．Logo 是最为着名的一项新技术，它与其继承者Star Logo、Lego/Logo 一起，促使了被称为以“ 微世界” （microworlds）为基础的建构主义理论分支的形成．根据霍利斯和诺斯关于Logo 程序设计环境的研究我们看到这类研究的成熟：内什直接研究了数学中的真理问题，她发展了学习系统的概念，这个概念表明我们能够发现“ 微世界” 与公理系统几乎是异种同形的，但它由一种经验性更强的“ 胶水” 紧密联系在一起，这些“ 微世界”

为学生提供了体验真理内在一致性的途径．其它对数学教育心理学起到深远影响的环境是Cabri-Geometre（一套几何作图软体，强调触觉与视觉的合一性）、函数假设者、函数探测器、电子表格、SimCalc 数学世界（SimCalc Math Worlds）、以及汤普森的运动量化等．在所有这些软件中，我们观察到物体上的物理运动被转变成“ 机器—驱动” 的行动：学生积极主动地探究技术和软件所具备的特征，并允许学生把猜想和探索的机会和新的数学工具联系在一起．

1.3 学生推理模式和发展

顺序建构主义的一个特征就是作为一种机制的适应性，它可以解释人类思维随着时间的推移所发生的转变．这个领域的研究范围已经涵盖了关于计数、比例、统计、随机性、极限、函数、以及几何证明等诸多内容．这也促使数学教育者辨别学习过程中的批判性时刻，在学习过程中，早期的思维方式不能充分解释新的观点，并且它还需要其它方法来解释那些例子、延伸的观点或者现象．我们在数学中可以发现很多这种观点：也许最着名的就是“ 乘法的积要更大，除法的商要更小” ．研究者认识到把 乘法和除法扩展应用到特殊情境当中时，所得结果必须通过直接与预期结果的冲突而获得．这种冲突不仅仅是获得结果的事实，更是重新检查我们潜在模式形成的过程．譬如，如果乘法是以排列组合为基础的，那么分数部分的乘法要求转变面积模式．而且，如果在a×b 中，a>1，并且0<b<1，那么既可以用交换律也可以用分数单位的重复加法来解决这个问题．但是，当0<a<1 和0<b<1 时，就需要教师的指导才能得以解决．正如研究所表明的那样：即使学生能够解决a/b×c/d 这类乘法问题，然而当遇到3.45×0.56 这类问题时，他们还是会遇到相同的困难．这项研究传统表明学生的某些信念是在有限的情境中发展的，并且在与原始预测结果发生冲突的过程中扩展了这些信念，这不仅会给学生提供新的解题程序，也会促使他们仔细考虑为何需要重新审视自己的观点．目前，这项研究已经演化成关于学生计算策略和理解的研究，理解是指学生应认知数字类型和数量、运算、情境、单位、以及运算的复杂性之间的相互作用．类似的研究还有：

（1）计数、加法和减法；（2）分数、比率和乘法结构．围绕全球数学课程的修订，关于计数和加法单位的发展的研究也已经逐步展开：维格诺德首先对“ 行动中定理” 和概念域进行了研究；诺尔丁在观察学生学习比率和比例推理过程中，进一步洞察了他们所经历的一系列阶段；不仅仅是关于数字的问题，也是关于数字及其表征形式、情境和运算、创造关系网络的性质之间的相互作用的问题，要在关系网络中进行正确的计算，就要考察乘法概念域．此外，关于序列发展的研究也已在几何、统计学以及上述所提到的一些领域中进行，这些工作为研究学生推理提供了深刻的洞察．总之，学习结果取决于仔细且符合学生观念灵活的活动顺序，尽管它遇到了批判性阻碍．很多生成性工作需要在更大的范围内进行，这样才可以更加仔细地用精心设计的实验研究和比较研究来检验这些活动的顺序．

1.4 学生创造表征形式和多元表

征形式建构主义研究方案所产生的另一种变化就是探索数学中表征形式的作用．在较为简单的数学水平上，研究者对孩子们如何建立自己更为复杂的概念表征形式进行了研究．马赫、斯贝瑟、弗莱尔和科诺尔德等反复指出，孩子们记录结果的方式及其与同辈和教师交流这些结果的方式对他们关于概率的推理产生了影响．同样，福森对孩子们如何生成算法进行了研究，这些算法体现了页面上的空间导向，而这种空间导向或多或少地提供了成功的可能性，因此，如何限制学生过早使用方程式可能会阻碍他们能力的展现．在较为高级的数学水平上，研究者关注乘法表征形式的应用．尽管并没有特别强调抽象水平最高的表征符号，但研究者发现不同表征形式增强了学生辨别数学概念的洞察力．使用多元表征形式的典型案例就是代数的发展不仅仅需要强调符号操作技能的发展，也需要强调作为理解函数族的途径发挥作用．函数族主要有两个方面的特征：（1）一个特殊类型（线性函数、二次函数、指数函数和三角函数）是与它们各自独立的类型纽带（变化率、曲线形状、代数形式）联系在一起的；（2）函数族在转变过程中（关于函数类型的行动，它可以测量函数类型之间的一般性）表现出某些普遍特征．在函数变换领域中，学生形成了更深层次的概括能力，他们能够在多元表征形式（图形、表格和方程式）中进行解释和预测，并且对不同参数影响的过程做出解释和预测，这通常要求学生在这些表征形式之间的动态环境中进行运算．譬如，在第18 届数学教育心理学大会上，伯巴就讨论了学生在努力协调不同表征形式时，如何使用给定软件即函数探测器．学生所呈现出来的模式表明这种协调是如何建构知识的．伯巴还具体阐释了在协调表征形式的这个过程当中，学生如何改变附加了设计者原先并未考虑的那些特征的软件．最近，伯巴和维拉里尔、伯巴和谢费尔又扩展了多元表征形式的概念，并指出把这个概念放在不同媒体之间进行协调是必要的（这些不同媒体包括图形计算器、计算机、感知器和纸等），且媒体之间的协调必须与人体活动中的基本活动进行整合．

1.5 “社会—建构”主义标准

随着研究者把建构主义带进课堂，建构主义的若干标准也就形成了．正如10 个原理所陈述的那样，为了成功地参与到建构主义的环境中，课堂的作用必须从被动的转向积极的．有研究者探讨了在“ 教学协议” 下这些转变是如何分解标准假设的，也讨论了改变学生期望的需要．1986 年科布、雅克尔和伍德就发现需要改变1~3 年级学生的行为，以便鼓励他们倾听其他学生的声音、并讨论自己的解题方法．根据鲍尔斯费尔德和维格特的研究和符号互动主义，科布及其同事提出：如果教师成功地在学生之间发展了建构主义导向，那么他／她就需要“ 重新协商课堂社会标准” ．譬如，建构主义课堂容易产生“ 不同” 的解题方法，尽管这些方法产生了相同结果，但是它们表征的是不同的认知过程．这种转变被认为是不同的东西，即以两种方式所呈现的变化：（1）不同的观点是显着的；（2）强化学生对自己思维进行反思．最后，研究者还经常提到那些向学生学习的教师．其它被探讨的“ 社会—建构” 主义标准还包括什么是一个清晰的、可接受的或者是复杂的解释．在迪瑟赛和科布的研究中，研究领域被认为是一种“ 本体论革新” ，它促使我们把这种方法看成是建构主义的分支，即“ 社会—建构” 主义．伍德、科布和雅克尔认为“ 把数学看成是受社会和文化因素限制的认知过程，看成是由积极的认知个体共同体所构成的一种社会和文化现象都是非常有用的” ．

1.6 新的研究主题

技术学习环境应用于学校数学课程的不同内容（譬如，几何和统计）的教学，也为我们了解学生如何学习这些内容以及教师如何教授这些内容提供了新的视角．譬如，动态几 何计算机环境，如几何画板、Cabri-Geometre、几何假设者和三维动态图像等都为学生提供了不同的工具来探讨和理解几何概念，也为他们提供了学习几何、几何推理和建构证明的不同方法．皮亚杰的建构主义观和范希尔几何思维和证明理论都是使用计算机环境进行几何学习的理论基础的重要组成部分．此外，还有一个关键问题需要考虑，即当数学被置于电子媒体中时，如何重新建构数学，如巴拉切夫在提出计算性移项观点时，认识到在用技术去协调数学视频表征和潜在的计算模式．根据统计学这个案例，我们能够看到建构主义是如何生成数学关系的创造性和独创性观点，且辨别学习中的主要标志的．在统计和数据分析成为众多国家主流学校课程的关键领域时，统计学教育研究关注统计思维和推理过程中学生的发展，关注学生对统计主题的理解，关注动态统计计算机软件的应用，譬如，量度（Fathom，一种统计软件）、TinkerPlots（利用统计工具设计教学活动）、Minitools（一种系统辅助软件，又称小小工具集）等．尽管数学为统计程序提供了理论基础，但统计学教育并没有必要与传统的数学的教与学的方法保持一致．譬如，统计学还是一个相对比较年轻的课程领域，它随着数据收集和数据分析工具的变化而变化，新内容和新的数据分析方法正在统计学教育中逐步形成．而且，科技工具的使用也为学生提供了动态统计概念的建构方法，更提供了新的方法来支持学生统计推理的发展．此外，在统计学教育研究领域中，我们能够追溯教学重点强调统计主题和观点的变化：从仅仅关注中心趋势的测量到关于数据推理的变量概念；关注大的观点，如分布的概念，而不关注联系较为松散的主题；关注如何通过概率的样本空间和统计推断的变量主题把随机性和统计学联系起来．

1.7 评 价

评价被看成是以不同方式支持建构主义实践的一种方法．首先，评价所提出的问题就是传统考试方法只关注多项选择题或者只关注问题的答案，它不能充分地评价学生的知识；其次，评价被认为是让学生意识到自己的学习和增强反思抽象能力的主要因素；最后，研究者关注使用意义更为丰富的任务让教师增强对学生推理能力的理解，作为支持建构主义课程变化的方法，强化教师的诊断性教学．诺丁罕的谢尔中心（The Shell Centre）与美国（Berkeley，Michigan State）的研究者合作组建了MARS，并把它作为发展这些机构和平衡性评价．考虑到评价在教学中的重要性，给教师提供直接了解学生学习的机会是一种有效方法，它可以使教师审视自己的概念，并更为深入地探究学生的思维和推理．

1.8 教学和教师教育建构主义理论

已经对教师教育产生了巨大影响，它是否继承了教学理论这个问题已经被反复讨论过．这个论断具有批判性和复杂性，它衍生于“ 建构主义是一个关于什么的理论？” 这个问题．如果它是一个解释学习如何发生的模式，那么它能够直接转变成一个教师应该教什么的标准化理论就不是非常清楚．如果它是一个“ 有效学习” 的理论，那么教师应该做的就是促进建构性学习．或者有可能的话，建构主义本身也不足以产生教学理论；我们还需要另一个关于数学教学的理论框架．为了解决这个两难困境，一些研究者深入发展了教学框架，关注任务的设计，课堂的计划，鼓励、指导并支持学生的话语和活动，创造学习环境，分析并评价学生的学习和进步．在布罗西亚关于教学协议以及如何设计引导学生认真思考问题的任务的研究中，移交权力就是一个典型的案例．道迪则讨论了如何形成“ 协会化的情境” ．康弗里还讨论了表达和观点之间的辩证关系：学生的表达可以用教师的观点来解释，反之亦然，即教师的观点也会随着学生观点的改变而改变．类似的，玻尔参考了“ 双焦观点”

（bifocal perspective）：教学“ 本质上是一种正在进行的、关于内容和学习者的研究，也是关于情境能够被建构成有助于理解学习者发展的研究” ．建构主义对全球教师教育产生了深远的影响，它与最初关于教学的研究相辅相成．数学教育心理学成员的研究小组及其所提出的学术性知识成果推动了大部分研究的发展．他们认识到教师不仅需要学习建构主义学习理论，还要从建构主义的角度来体验数学．因此，数学教育心理学研究者对教师教育进行了研究．在大多数研究中，研究者认定教师需要时间在建构主义范式内作为学习者利用资源，也需要时间考虑这些资源对于自己的实践究竟意味着什么．目前，研究者对如下3 个领域尤为感兴趣：如何描述教师知识的本质，即“ 对基础数学的深刻理解” ；当前教师知识的特征；以及专业发展过程中的“ 课例研究” （Lesson Study）．

1.9 方 法皮亚杰是“ 诊断性方法” （clinical method）的开拓者，它促使数学教育心理学的研究者广泛地应用诊断性访谈方法．

访谈法的目的是为了支持访谈者建立学生演变观念的模式．访谈者的作用更加清晰，访谈法跨越的时间更长，并且访谈法被学习者描述成学习经验，但诊断性访谈法现已开始被教学实验所取代．这些都是俄罗斯教育共同体（Russiandidactical community）再次提出的内容，它们促使研究者进一步拓展研究学生之间、学生—教师之间的互动．与此同时，学习科学随着数学分支领域的发展也在逐步演变，设计实验被增加到建构主义方法总体当中．在“ 教育研究中的设计实验”（Design Experiments in Educational Research）中，科布、康弗里、迪瑟赛、勒里尔和斯考伯尔（辨别了设计实验中5个明显的特征：（1）高度的互动主义者；（2）设计为基础的；（3）具有理论生成性；（4）在互动纠正和反馈基础上形成并不断完善；（5）具有生态有效性和实践导向性．这些设计实 验主要在于“ 发展关于学习过程和学习方法的一系列理论，设计这些方法主要是为了支持建构主义学习，学习是个体学生的学习、课堂共同体的学习、专业教学共同体的学习或者是一个组织的学校或校区的学习” 最近，康弗里还专门讨论了设计研究的演变过程，她指出设计研究的目的是为了提供关于观念走廊的观点，创造各种障碍限制关系网络的发展，因此，设计实验是为了辨别在走廊沿岸可能出现的风景和障碍．研究者并不期望通过定义可能的机会和限制的走廊以及教师在实践中所应用的可辨别的典型模式，再生学习轨道，从而提高成功学习的可能性．

2 建构主义的未来发展——进步 倒退 抑或停止建构主义对数学教育的影响很不幸地正在逐渐消退，尽管它同时也在很多地方才开始兴起，因为在某些地方它还尚未出现（譬如，新加坡和土耳其）．我们不知道这是不是因为有些主要观点已经被认为是“ 理所当然” 的了，所以它们很少被明确地提出，或者是建构主义的潜力已不再突出，而其他观点则被证明更具竞争性，也或许是因为这个领域正在趋向于变化，而且理论的变化尤为频繁．可能下面两个原因可以解释这种变化：（1）这个领域关于如何使用理论和系统来累积研究成果还尚未成熟；（2）研究者并没有关注影响数学学习的“ 社会—文化” 、政治和经济的力量的理解．尽管我们承认与更大的模式和趋势相联系的情境建构主义的重要价值，但为了合理地促进数学教育的发展，我们必须要关注内容主题，而且在这些领域中进步会一直延续．其实，建构主义作为一个宏大理论并没有被恰当地理解．根据拉卡托斯的理论，我们主张建构主义构成了一个关于理论核心的研究方案，它并不能直接预测经验数据，但它受联结理论的保护．其十大原理则提供了一个关于建构主义的理论核心，而且避免了极端化．为了处理关于应用理论指导实践的问题以及使用方法评价经验数据的质量问题，我们赞成需要更为精致特殊的联结理论：重新强调这十大原理，更为明确地指出这个理论是如何转变成实践以及如何产生可检验的和可驳斥的假设和猜想的．这种方法所提出的挑战就是联结理论经常在课程方面是专门的，而关于国际消费研究的普遍性也受到了限制，因为它很难在那个水平上实现共享．这也许就迫使我们必须清楚地阐述开展研究和报告研究结果的新方法．以下3 个理论则指出了我们所思考的受理论驱动的经验研究的类型．联结理论的一个类型具有外显的设计或工程学导向，它提出了关于教学方法的整体理论．通过设计研究或长期的教学实验，这种设计导向涵盖了与设计相关的所有技巧，并驱动它超越研究已确定的内容，但它还关注教学实践的所有因素．在很多研究主题中，研究的目的是为了记录理论研究对学生推理所产生的影响，且它还应该澄清以研究的连续性和持续性为基础的预期形式．教学设计理论，如现实主义数学教育、或者教学工程学就是典型案例．带有事后评价设计的革新方案象征了另一种联结理论．在这些革新方案中，开发整体课程是为了满足实施该课程的特殊情境的需要（譬如，新加坡数学、联结数学等）．关于这些课程有效性的研究主要针对有目的的、已修订的和已确定的课程，它把这些研究与各种不同学生成绩评价方法相联系．第三种方法就是清楚地陈述特殊的分支领域结构的观点，如统计学、有理数、或者代数函数，把它们视为一个概念域．在这些研究中，研究的重点就是在给学生提供一系列任务的情况下，学生思维是如何演变的，设计这些任务的目的就是关注在学生所使用的方法和他们所假设的概念结构过程中什么是可能的．在所有这些任务中，我们会期望明确地关注概念、情境、性质、证据形式、表征形式、算法和结构等．如果联结理论不能在有效评价方面促使学生提高成绩，那么这些理论更有可能趋于多变．因此，这个领域需要减少对宏大理论支持，反而需要强化宏大理论对证据的依赖性，因为这些证据可以被有经验的实践者所理解和接受；还有部分原因是因为在这个领域中我们的数量还相对较少，我们这个时代的需要日益多元化（譬如，研究、教学教师、在职活动、准备材料等），这也促使我们更加灵活地应用理论，这就导致我们无视他人、不能明确地认识自己．也许理论没有长期生命力的原因是因为它缺乏更为深刻的分析和解决争论的沟通．我们相信“ 社会—文化” 观点已经在这个领域取得了一定的地位，因为它所关注的焦点已经转移到建构主义研究上面．当我们相信强化学生的主体地位、强化他们对权力的信念、各种主张以及学习数学的能力是变化的主要因素时，它使得数学学科更加吸引人心，组织成功的深层次学习，并确保教师知道以实体的方式存在的内容是必须的．随着社“ 会—文化” 观的力量益发强大，我们开始认识到对建构主义学者所提出的环境／语境／生理问题的关注也越来越少，由此，对数学本身、对它是如何被学习的、以及如何与教师交流的这些问题的关注也越来越少．我们不赞成把知识看作是个体的与文化或社会的简单相加；我们也不赞成把知识看作是认知与文化的相加．相反，我们认为数学学习必须具备基本活动和“ 社会—文化” 交流的主要组成部分，并且这些部分与至关重要的、生动活泼的方式相互影响．在理解学习方面，建构主义，比迄今为止的其它任何理论，都要强调发展和成长的重要性，它清楚地认识到“ 生物—物理—环境” 因素和“ 社会—文化—政治” 因素影响到它的进程．建构主义所做的事情就是把数学知识的主要源泉置于某个模式之中，这个模式在与生物／物理／环境的联系中生成，从而认识到在把个体看成是小组、班级、学校、共同体和文化的主要分析单元时，“ 社会—文化” 情境是如何象征、促进／阻碍、形成建构主义学习的．建构主义的影响既没有被看成是主要 的，也没有被看成是各自独立的，因为在所有这些领域中，它始终作为观察者和参与者的成员身份而存在．修正的宏大理论利用了建构主义和“ 社会—文化” 观，并充分地满足了每一个支持者的要求，这种修正的理论很有可能形成，但它需要关注理论因素和方法因素，且有可能提出一种混合方法，它将伴随着时间的推移而逐步形成．它还需要用比建构主义更为广阔的方法来探究如何鼓励学生追求数学的或科学的熟练性，并细心关注关于这类决定的更广泛的社会和文化问题．此外，在确保细心关注独立思想和推理的精确模式发展的同时，它也认识到文化适应涉及到数学化的实践行为．为此，多元分析单元被精确、仔细地联系在一起．在指出建构主义的未来发展时，我们应注意到要继续关注科技社会的变化及其对学校教育的影响．关于专业教师和专家教师有效教学的研究为我们研究社会文化和环境／物理／工具为本的、媒体为本的科技工作事务是如何真实展开的提供了洞察，而在学校中几乎没有学生知道数学是如何根植于这些多样化的环境之中的，更不要说什么类型的学习是适合的、需要的了．这些环境／工作环境不仅吸引了学生研究量化的学科，而且也促使他们更加努力地学习以便获得成功．关于数学模式化的研究象征着一座主要的桥梁，它很可能就是建构主义的合法继承人．在此，把知识建构看成是基础和目标领域之间相互关联的系统图式，也是探讨这个相互关联的系统性的过程．因为在用可行的选择取代对应理论时，模式化可以解决关注真理一致性观点的双重挑战．对应被认为是关于理解的两个领域之间的关系，一个是确定的而另一个则更加不确定，对应不是个体和外部存在之间的联系，但这两个领域具有不同的抽象水平．但我们能够比较和对比不同类型的模式，并且生成一个更为精致微妙的连续体来指导学生的数学发展．

勒里尔和斯考伯尔曾于2000 年提出了一个模式化的分类系统：物理的微观宇宙（如手肘的物理模型）、表征系统（如地图）、句法模式（如把现象模式化为硬币的抛掷）、假设－演绎模式（如把天然气模式化为台球的碰撞）．当学生越来越向假设－演绎模式发展时，我们期望使用重要的一致性来解释关系、生成超越物理对应性的预期方法，据此我们获得了公理系统的数学．在这个领域的另一端，孩子们面临着理解我们如何解释根植于物理环境的数学概念的挑战．表征系统开始呈现出潜在的直觉，这些直觉是通过比较和对比多元表征形式而获得的，尽管差异之处被用来凸显新的特征并且有助于建立各种猜想，但这些多元表征形式所要追求的仍然是一致性．从整体上来讲，建构主义对数学教育产生了重要影响，它促使学生进入活动的前沿，并提出了一些真实性问题，这些问题主要涉及如何有效利用资源、语言、文献和概念，这些都是学生需要学习的．它也产生了许多实践成就，从课程到新的计数工具，并且也记录了学生思考教师需要知道什么的重要内容．由于这个理论，我们意识到必须重点关注学生是如何更加清醒地意识到他们相信什么和知道什么，以及在与他者的互动中这个理论是如何被完善和发展的．我们关于教师作用的观点也已经发生转变，并意识到教师作为刺激者、指导者、辅助者和批判者——在促进学生发展基本的推理能力过程中所起到的重要作用，在学生完成这些不同主题的学习时，这些推理能力是数学的标志．此外，数学教育心理学在建构主义理论的发展过程中起到了重要作用，它促使建构主义理论成为一项全球性的事业．