摘要：本文通过回顾关于数学元认知的相关研究，对数学元认知的理论和学生数学元认知差异的主要表现进行了分析与梳理。相关研究发现，学生的数学元认知水平在数学学优生与学困生、性别、年龄等方面，差异较为明显。文章最后指出了相关研究对数学教学的启示。
关键词：元认知能力 数学元认知 数学元认知差异
数学元认知是以数学观念为指导，在数学思维过程中表现出来的，对数学认知活动的认识和监控。学生的数学元认知水平对数学学习有很大影响，数学元认知的差异是形成数学思维品质差异的根本原因，因此，了解学生数学学习的元认知水平的差异，对于有效地开展数学教学，有针对性地指导学生的数学学习有着十分重要的意义。本文通过回顾关于数学元认知的相关研究，对数学元认知的理论和学生数学元认知差异的主要表现进行了分析与梳理，并对数学教学提出了一些建议。
l 数学元认知的相关研究
自20世纪70年代初美国心理学家弗莱维尔(Flavell)首次正式提出元认知的科学概念以来，各国的研究者围绕元认知开展了大量的研究，使其逐渐成为当代心理学，尤其是教育心理学的热点课题。在众多元认知概念的界定中，以弗莱维尔的定义最具代表性，他认为元认知是个人对自己认知系统的内省知识(Flavell，1971)，即认知的认知。数学元认知就是对数学认知活动的认识和监控，是在数学思维过程中表现出来的，以一定的数学观念为指导，对自己的思维过程的意识进行调节与控制。
1．1 元认知结构
关于元认知的结构，国外学者弗莱维尔认为元认知包括元认知知识(meta—cognitive knowledge)和元认知体验(meta—cognitive experience)两个方面?。帕里斯(Paris)认为元认知包括两类心理活动：一是认知的自我评估知识；二是思考的自我管理幢J。国内学者董奇认为元认知的成分为3个方面的要素：元认知知识、元认知体验和元认知监控b1。汪玲、郭德俊等人则认为元认知包括元认知技能、元认知知识和元认知体验3个方面H】。目前较为普遍接受的是董奇先生提出的“三要素”观点。其中元认知知识就是个体关于自己或他人的认识活动的过程、结果、任务目标和方法以及影响认知活动的各种因素等有关的信息和知识。元认知体验是指伴随着认知活动的进行而产生的认知体验或情感体验，它是推动认知活动顺利进行的内在动力，可以是“知”的体验，也可以是对“不知”的体验。元认知监控就是主体在认知活动的全过程中，将自己正在进行的认知活动作为意识对象，不断地对其进行积极自觉的监视、控制和调节，以达到预定的目标b1。
1．2 数学元认知结构
在数学学习过程中，数学元认知知识表现为以下几个方面：(1)对个体数学学习能力、兴趣、习惯的认识；(2)对数学本质、学习目标和任务难易程度、材料的不同呈现式等的认识；
(3)对数学学习的方法、策略及其使用的条件与范围等的认识¨1。数学元认知体验包括了知和情两方面的体验，即一方面有认知活动进行时对知识获取的觉知，另一方面也有对认知过程中经历的情绪、情感的觉察。如，通过数学作业或形成性测验，“我”能够发现自己数学学习的进步或退步；又如，对立体几何中的题目，“我”喜欢用几何方法来解决还是喜欢用向量方法来解决等。
数学元认知监控是对数学认知过程的调节和控制。数学元认知监控贯穿于数学认知活动的全过程，即从认知目标和任务的监控开始，到制定计划的监控(包括策略选择与应用、构思问题解决的可能方法、估算其有效性、资源分配等)和实施计划的监控(包括根据反馈信息及时作出评价，并修正或调整策略和方法等)直至检查结果的监控(包括评价和估计策略和方法的效果，达到目标和完成任务的程度。如发现问题，则采取相应的补救措施)，总之要达到了目标和完成了任务，数学元认知监控才停止。一般来说，数学元认知监控是在数学元认知知识、元认知体验相互作用的基础上实现的，丰富的元认知知识和元认知体验有助于主体对认知活动进行有效的监控，同时元认知监控能力又制约着主体元认知知识的获得和水平。因此，在实际认知活动中，三者相互作用，相互制约构成一个统一的整体，其中数学元认知监控处于核心地位。
1．3 数学元认知的功能
在人们从事的各种认知活动中，元认知都发挥着十分重要的监控、调节的功能。已有研究b1证实，元认知监控在很多学科中会起到非常重要的作用，如写作(Gaham，1997)、阅读(Ryan，1984)、应用题(张庆林、管鹏，1997)等。这些研究已初步证明，元认知在儿童的学习记忆、理解、问题解决等方面的活动中起着重要的作用，元认知的训练可以提高儿童的思维、智力水平。从数学学科的特点来看，数学是一门高度抽象的科学，是关于量化模式的建构和研究，是建立在对具体事物和现象的反省抽象基础之上的科学，这也就决定了数学思维更多的是反省思维，而反省思维是离不开元认知的；其次，从数学问题解决的过程看，“调控”是决定问题能否顺利解决的一个重要因素，通过解题过程的监视、评价、调节和修正，使问题得到圆满的解决，这此活动无疑都包含了元认知成分。因此数学学习活动要求学生具备一定的元认知能力；反之，数学学科的特点也使数学教学过程是培养学生元认知能力的最好载体bJ。
2 数学元认知差异的表现
元认知与思维品质存在因果关系，元认知的改变必然引起思维品质的改变㈨。数学思维品质是数学思维能力的表现形式，是衡量思维能力高低的重要指标。因此，了解学生数学学习的元认知水平的差异，对于有效地开展数学教学，有针对性地指导学生的数学学习有着十分重要的意义。学生数学元认知水平差异主要体现在以下几个方面。
2．1 数学学优生与学困生的元认知表现
对于数学学优生(Mathematically GiftedStudents)，中文有很多称谓，如数学特长生、数学天才生或数学资优生。一般是指那些对数学有兴趣，能主动地进行数学学习，且对规定的数学学习内容，成绩稳定在相对较高水平的学生(以下简称“学优生”)。在数学学习中，还有一些学生，他们数学成绩差、知识欠缺多、能力薄弱、持续感到困难，处在无趣与困惑之中，这部分人就是数学学困生，也称为数学慢生、差生、后进生(以下简称“学困生”)，国际上使用“Slow Leaner”即“慢生”的称谓一1。成绩差异是相对的，所谓学困生是指在同龄人中数学成绩明显落后且学习困难的学生¨]。学优生与学困生在数学学习的很多方面表现出差异，在元认知水平上也是同样。研究者对这个问题研究的结论主要有：
2．1．1 数学学困生元认知知识和体验水平较低，但未形成显著性差异潘冬花认为，数学学困生的元认知特点有：元认知知识相对贫乏，他们在有关知识水平方面同许多数优生基本相同，但是，在学习策略方面的知识却比较贫乏；元认知体验相对消极，元认知体验是元认知的前提，学困生学习数学时成功体验少，失败体验多¨1。
2．1．2 数学学困生元认知监控水平显著低于数学学优生研究表明旧J，数学学困生的元认知监控不够自觉。实际上，很多研究?【2】【9】【103(张存山，2007；Flavell，1995；牛卫华，张梅玲，1998；李伟健，李盈锋，2005)都指出，数学学困生与学优生在元认知监控方面存在显著差异，而在其他方面的差异并不显著。
这些结论与Pazzaglia和Comoldi的研究一致，即元认知水平越高，其学业成绩越好陋]。对此，郭玉峰和潘冬花认为，数学学困生的元认知水平不高主要体现在元认知监控水平上，有以下几点：(1)不能很好地预期或计划自己的学习；(2)不能自觉地使用有效的学习方法；(3)缺乏对学习的有效监控；(4)缺乏对学习的某个阶段及学习完成之后的评价、反思习惯旧?。可以看出，学困生在数学学习之前、之中和之后对学习任务都不能有效控制，这是因为元认知监控是元认知的核心，监控能力的匮乏导致中等以上难度的数学问题成为学困生不可逾越的障碍。
2．1．3 元认知技能在提高程度上的差异
数学学优生及学困生除了在认知水平上存在差异，在元认知技能的发展上，二者也呈现不同的增长趋势。张存山通过对高一学生中的学优生及学困生进行连续八周的数学元认知技能预测、计划、监控、评价测试及分析，发现随时间推移，学优生与学困生的数学元认知技能都在提高，预测、计划和评价技能有发展趋势，学优生的监控技能一周内迅速发展，在后续时间内仍有较大提升。学优生在容易问题与困难问题上的计划技能成绩差异与监控技能成绩差异都越来越小，学困生在容易问题与困难问题上的计划技能成绩差异没有明显改变，监控技能成绩差异也比较稳定¨¨。这一点与Isaaeon，Fujita(2006)和胡志海(1999)等人的研究结果一致，即学优生能表现出更好的调节能力。学生的数学水平和元认知水平是相互影响的。已有调查验证了学生数学问题解决中元认知能力的发展水平与其数学学习成绩呈正相关关系。数学学习成绩是影响初中生数学问题解决中元认知能力的重要因素u刘。数学学困生的元认知水平未能跟上学习要求的变化，使得对学习活动缺乏有效的计划、控制与调节，元认知的欠缺影响了整个学习过程的结果，这些可能是造成学业不良的重要认知原因。因此，学困生的元认知水平的各个方面均低于学优生，而且从长期看，其发展速度也要慢于学优生。
2．2 元认知差异的性别表现
总体上讲，男女生在元认知各维度上差异不是很显著。但是，具体到每个年级男女生在个别地方表现出一定的差异¨¨。在初中阶段，男生的认知平均分高于女生。同时，男生的自我意识、认知策略、谶Ⅱ、自我检查对错的得分都高于女生。实际结果来看，在大部分估计任务中，男生的成绩都好于女生，只是未达到显著性水平。只有在估算中，男生的成绩显著高于女生。出现这种情况的原因主要是估算实际上与数学能力高度相关，所以表现出与数学能力性别差异一致的现象【l引。高中生的元认知水平也没有显著的性别差异。在思维的敏捷性、深刻性和独创性上男生优于女生，而在思维的批判性上女生优于男生。女生更善于对自己的数学解题过程进行回顾和反思，她们的元认知监控比男生发挥得更主动一些¨¨。这些差异的出现与男女生的认知方式的差异有关。另外，大量的研究表明【l卜¨】，男生有更肯定的数学能力信念、更大的对数学成功的预期、数学成败归因上倾向于能力归因、更低的数学焦虑以及更看重数学的价值，这可能也是元认知性别差异的原因之一。
2．3 元认知差异的年龄表现
目前对不同年龄学生的元认知差异的研究还不充分，但是从对初中生和高中生的元认知水平的研究结果来看，随着年龄的增长，学生数学元认知水平也呈现上升的趋势。
在研究数学问题解决时，王春燕发现，在元认知能力的知识性维度上，初中生的数学元认知相对比较缺乏，特别是数学问题解决中解题策略方面，数学问题解决中元认知能力的调控性、监测性和评价性维度总体偏低¨¨。相对而言，高中生在元认知知识方面，有一定的自主学习能力旧】。但是他们在其他方面依然表现出不足之处，如在元认知体验方面，对学习过程和学习内容的体验较成熟，对学习结果的体验较弱；在元认知监控方面缺乏反馈和补救意识，学习缺乏坚持性、深刻性旧1。杨国章通过调查150个高中生(包括高一、高二和高三学生各50人，其中男生女生各占一半)，从三个年级学生的平均得分来看，高一、高二和高三三个年级呈增高趋势。尤其高三比高一、高二进步明显，说明高三学生经过高中前两年的积累，尤其是高考前的强化解题训练，元认知水平提高较快¨引。这些研究表明，学生的元认知能力是随年级的升高而逐步提高的。何春华指出，学生数学元认知水平受年龄的影响主要有以下特点：(1)随年龄的增长而增长；(2)从外部控制到内部控制；从无意识到有意识再到自动化；从局部到整体的变化¨“。数学元认知是个体在学习中随经验的增长而逐渐发展起来的。在数学元认知还未充分发展之前，学生的学习活动通常是在教师、家长等他人的直接指导、要求和监督下进行的。低年级学生的学习更多的受到外在因素的影响，如教师、家长的监督和督促，而且学习活动比较简单，学习自我监控的作用有限。离开了成人的指导和安排，往往就束手无策。而高年级学生的学习活动复杂，常常需要学生对其学习活动进行较多的自主投入与自我监控才能顺利完成。随着关于学习规律、学习材料的熟悉与掌握，对自身特点及有关策略知识的不断丰富，自我调控的经验增多，对学习的自我调控逐步从无到有，由低级到高级发展起来。
3 相关研究对数学教学的启示
关于数学教学中元认知差异的研究已具有了一定的广度和深度。这些研究表明，学生在元认知方面存在着多方面的差异，并且这些差异成为影响学生数学学习的重要因素，教师要意识到这种差异的存在，并帮助学生提高元认知水平。第一，教师需要采取有针对性的指导方式，以适应不同元认知水平的学生。学生差异是现代课堂教学的客观存在，教师应科学测查学生不同的学习需要，切实了解学生元认知水平的差异，寻求积极有效的差异教学策略，以促进不同认知水平学生的发展。如，对于数学学困生，教师要帮助他们分解学习内容的难点，降低解题技巧，采用实践性、活动性和开放式教学。在数学教学过程中注重知识的发生过程，还原数学概念的本质，注意指导学生掌握必要的元认知技能，学会学习的方法。指导学生，特别是学困生掌握必要的问题解决方法策略知识，提高其元认知监控的能力，这样可在一定程度上弥补他们学习能力的不足。此外，教师还应注意引导学生充分认识自己的认知特点，如自己是善于抽象思维还是形象思维，自己在什么时候记忆效果好等。发挥学生差异资源的教学价值，以多种方式方法的综合，适应学生不同的元认知水平，实现优质高效能的数学教学。第二，教师还要培养学生运用学习策略的意识和能力。从元认知、认知和资源管理策略三个维度对学生数学学习策略的测查，学习者在择用策略时存在年级差异、性别差异和水平差异。其中年级在元认知策略上的主效应极其显著(P<0．01)，在认知策略、资源管理策略和总的学习策略上差异显著(P<0．05)。不同成绩水平学生的数学学习策略选择与应用差异，其中元认知、认知、资源管理和总的数学学习策略，优生异常显著地高于中等生和差生，中等生又异常显著地高于差生(P<0．001)¨0。。因此，在数学教学中，不同章节、不同学习要求需采用不同的学习策略，不仅要教给学生相应的学习策略，还应引导学生有意识地选择并运用恰当有效的学习策略。第三，教师要培养学生在学习过程中进行自我监控与调节的意识。最初，儿童毫无监控学习活动的经历与体验，往往是由于无意识的或不自觉的自我监控，获得了成效而强化了再次的体验与监控，从而逐步从无意识转化为有意识。随着有意识的经常运用，这种自我观察、自我判断、自我控制等技巧的使用逐渐变得娴熟起来，最后达到几乎不需再作有意识的选择和努力或仅需少量注意就能自然而然地操作，达到自动化的程度。因此，教师要注意培养学生在学习过程中随时监控自己是否偏离目标，当学习出现困难时及时、准确地分析其原因，并能适时地调整计划或策略。教师要培养学生对学习过程及其效果进行自我评价、反思的意识。