在数学学习中，常用的数学语言包括自然语言(或日常语言)、符号语言、图象语言.在数学教学中，转换数学语言的训练，是促进人的左右脑协调的极佳训练，因此教师教学时应注重数学语言互换的训练.

哪怕是同一种数学概念、定理，都有着不同的表达方式.例如,重要的函数之一：最高次数是二次的整式函数，日常用语为二次函数，符号语言是函数y=ax?2+bx+c(a≠0, a、b∈R),而用图象语言则表示为一条抛物线.同样为二次函数，符号语言又可以用多种形式表示，即除以上的一般式外，还有 y=a(x-x?1)(x-x?2),其中x?1、x?2是抛物线与横轴的交点的横坐标，也可以表示为y=a(x-k?2)+h,其中(k,h)为抛物线的顶点坐标等.

常用的这三种语言有着各自的特点：符号语言较简洁、严谨，有利于正确表达和进行推理;图象语言易产生清晰的视觉形象，能直观表示概念定理的本质及相互间的关系;日常用语较自然生动，它能将问题所研究的对象的含义在人们头脑中更加清楚地刻画出来.

【例1】 有50名学生同时做两道数学题，第一题做对的有30人，第二题做对的有33人，两题都做不对的人数比两题都对的人数的三分之一多一人，问两题都对的人数是多少?

分析：设答对第一题的学生用集合A表示，答对第二题的学生用集合B表示，则两题都答对的学生用集合A∩B表示.题目由日常用语给出条件，但直接从这些条件中难以理出头绪，于是试图将条件换成图象语言，如图1：

图1

(1)A的元素为30人，B的元素为33人.

(2)设A∩B的元素为x，可将日常用语转换为符号语言，集合A中打斜线部分为(30-x);集合B中阴影部分为(33-x);两题都答对的人数为x，两题都答不对的人数为(x/3+1).以此可建立等量关系.

解：设答对第一题、第二题的学生分别用集合A、B表示，且A∩B的元素为x，由图1知

(30-x)+x+(33-x)+(x/3+1)=50，∴x=21(人).

【例2】 A={x|x?2-2x-3≤0｝，B={x|x?2+px+q<0｝，A∩B={x|-1≤x<2｝.求实数p、q满足的关系式.

分析：A={x|x?2-2x-3≤0｝是抽象的数量关系，将其转化为图象语言，用数轴沟通A与A∩B的关系.图2

若B={x|m

解：B={x|m

【例3】 若抛物线y= x?2+ax+2与连接M(0,1)、N(2,3)的线段(含端点M、N)有两个相异的交点，求a 的取值范围.

分析：(1)日常用语：“连接M(0,1)、N(2,3)的线段”转换为“过M、N两点的直线在 M、N之间的部分”，然后转换为符号语言：y=x+1,x∈[0,2].

(2)日常用语：“抛物线y= x?2+ax+2与连接M(0,1)、N(2,3)的线段(含端点M、N)有两个相异的交点”转换为符号语言：“由y=x+1与y= x?2+ax+2，而且x∈[0,2]组成的方程组有两个不等的实数解”.

图3

解:如图3，过M(0,1)、N(2,3)两点的直线方程为y=x+1，要使抛物线y= x?2+ax+2与连接M(0,1)、N(2,3)的线段(含端点M、N)有两个相异的交点，必须且只须

y= x?2+ax+2、

y=x+1有两个相异的实数解，即方程x?2+ax+2= x+1 当x∈[0,2]时有两个相异的实数解.令f(x)= x?2+(a-1)x +1, 当f(x)满足下列条件：

0<- a-12<2，

(a-1)?2-4>0 ，

f(0)=1>0，

f(2)=2a+3≥0，

解得a的取值范围为-32≤a<-1.

一般地，如果问题的叙述是以日常用语形式表述的，尤其是应用题，为便于计算与推理，则引进字母变量或建立数学模型是常见的数学思维方法，如例1;如果问题的叙述以抽象的字母或符号语言出现，常用的思维方法往往是先转换成图象语言或日常用语，如例2;如果问题的叙述有多种语言形式，则进行各种语言的转换，如例3，可先将日常语言转换成符号语言，进一步转换成图象语言.因此在平时数学教学或学习中，要注重各种语言相互转换的训练，从而提高解题的效率.

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