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一、引 言

大学基础数学课被公认为单调、乏味、难学的课程,怎样能够提高数学课的教学效果是很多高校在教学中面临的一个难题。本文针对影响因素的多样性及相互关系的复杂性,利用主成分分析的方法分析诸因素对教学效果的影响。

二、主成分分析

1.主成分分析的概念

在实践中,研究多变量问题是经常遇到的,然而在多数情况下,不同变量之间是有一定的相关性的。由于变量多,再加上变量之间有一定的相关性,势必增加了问题的复杂性。主成分分析就主成分分析是用少数几个综合指标来描述许多指标之间的联系,以较少几个指标来反映原始资料的大部分信息的统计分析方法. 对多变量的平面数据进行最佳的综合和简化,即在保证数据信息丢失最少的原则下, 对高维变量空间进行降维处理。

设有 个样品,每个样品观测 项变量: 得到原始数据资料阵:

用数据矩阵 的 个向量 做线性组合,即综合指标向量为:

方程组要求:

在称第一主成分的贡献率为 ,由于 ,所以

.

这个值越大表明第一主成分综合 信息的能力越强。

前两个主成分的累计贡献率定义为 ,前k个主成分的累计贡献率定义为 。如果前k个主成分的累计贡献率达到85%,表明取前k个主成分基本包含了全部测量指标所具有的信息,这样既减少了变量的个数又便于对实际问题的分析和研究。

2.主成分分析的步骤

(1) 数据的标准化处理。

,

经过标准化后,各样本的均值和方差分别为0 ,1。

(2) 计算变量的相关矩阵R。

设样本的相关矩阵 , ,R 是对称矩阵,主对角线上元素均为1。

(3) 计算相关矩阵R 的特征值 特征向量:

(4) 按累计贡献率准则写出主成分。

计算各主成分的贡献率 ,以累计贡献率 为准则,写出主成分:

三、 基础数学教学效果影响因素的主成分分析

经分析认为“两课”教学效果影响因素有以下12个:

因为第一主成分的贡献率已经高达92.1727%,可只取这一个主成分来代替原来的2个指标。而这一主成分的特征向量的分量都在0.45左右,表明原来2个指标对该主成分的影响力基本相等。新的综合性指标表述为:

因为第一主成分的贡献率已经高达89.1368%,可只取这一个主成分来代替原来的5个指标。而从这一主成分的特征向量的分量来看,表明原来5个指标对该主成分的影响力不尽相同,新指标表述为:

F2=0.5210X3+0.1265X4+0.4231X5+0.4002X6+0.2615X7

因为第一主成分的贡献率已经高达91.3563%,可只取这一个主成分来代替原来的5个指标。新指标表述为:

F3=0.4561X8+0.4325X9+0.2652X10+0.4890X11+0.4335X12

上面所示3个主成分,基本反映了原来所有的信息,第一主成分与数学教育重要性,价值观密切相关,大致反映了社会方面这一因素。第二主成分与学校重视程度、教师专业知识与现实的接轨率、教师的积极性相关,大致反映了师资这一因素。 第三主成分与课程的重要程度、对老师的满意程度、学习态度相关,大致反映了学生方面这一因素。

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