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初中的主要数学课程是几何与代数。“代数”一词，是九世纪时亚细亚的数学家阿里·花拉子模首先使用的。英文的“Algebra”一词，是从阿里·花拉子模那里来的。我国从1711年清朝康熙五十年起，先后音译作“阿尔朱巴尔”、“阿尔热巴拉”、“阿尔热八达”等。1859年清朝咸丰九年，李善兰与伟烈亚力合译的《代数学》，是我国意译“Algebra”为“代数”的开始。

前面已经说过，解析几何的出现，使人们可以通过解代数方程来解答几何问题。因此，规尺作图三大难题的解决，同代数方程的解挂上了钩。

但是，很多数学史的书上只说阿里·花拉子模是世界上最先求得二次方程一般解的人，原因是丢番都当时认为只有根式下的数是一个完全平方时，方程才能算有解，并且丢番都只承认正根。

到了16世纪，意大利数学家卡尔丹和他的学生费尔拉利，相继发表了用根式求解三次方程与四次方程的方法。卡尔丹在发表三次方程的公式证明时曾声明，公式是威尼斯的塔尔塔利亚告诉他的。这个公式实际上是公元1500年左右波仑亚的数学教授非尔洛最先研究，几经转折，为塔尔利亚完全掌握，在卡尔丹保证保密后告诉了卡尔丹的，但六年后，卡尔丹给出证明发表了。数学界称这个公式为卡尔丹公式。

由于无论是二次方程、三次方程还是四次方程，都能通过根式求它的一般解，于是很多数学家，争相研究和寻找根式求解五次方程的公式。经历16世纪的后半叶、17世纪、18世纪，直到19世纪初，很多数学家和数学爱好者，都把它作为检验自己才能的试金石，可是毫无例外，他们都失败了。

根式解法虽然没有找到，可是人们却积累了很多的经验和知识，特别值得一提的，是法国数学家拉格朗日。他在高次方程根的排列等方面作了很多的工作，而且提出这是整个问题的关键。他还指出用根号解五次以上的方程，是不可能解决的问题之一。可是，他对不可能没有给出什么证明，他就这个问题的困难性说：“它好像是在向人类的智慧挑战。”人类的智慧终于夺得了胜利。

在拉格朗日去世后11年的1824年，挪威22岁的数学家阿贝尔，证明了一般五次以上的代数方程，它们的根式解法是不存在的。这就是说，除了某些特殊的五次以上的方程，可以用根式解外，许多五次以上的方程，把它的系数看成字母，无论由这些字母组成什么样的千奇万状的根式，都不可能是这个方程的根。延续300年的难题解决了。阿贝尔的成果轰动了世界!

阿贝尔一方面证明了有的方程不能用根式解;另一方面也可以举例证明，有的方程能用根式解。于是，能用根式解或者不能用根式解的方程，到底用什么来判断呢?阿贝尔没有来得及解决这一问题。因为他少年时期备受贫困折磨。身体十分虚弱，在27岁上，就害痨病死了。

科学的接力棒总是要继续往下传的。法国数学家伽罗华在阿贝尔去世后的第二年，完成了这一项艰巨的工作。可惜他的生命更加短促，只活了21岁。

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