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《中学数学杂志(初中)》2010年第8期刊登了陈明儒老师的文章《初中概率题为什么颇有争议》,读后深受启发,也深有同感,不少老师和同学在进行用列举法求概率教学时,感到对有些问题的认识不是很透彻,容易引起争议,下面就列举几个这方面的问题供大家借鉴.1排列与组合问题
虽然初中数学没有系统讲排列组合的相关知识,但概率中不少的问题与排列组合有关,作为老师应该明白,有些问题可以直接运用排列组合解决,而有些问题不能直接套用排列组合的结论,只能借鉴的思想方法才能解决问题.
案例1 (1)口袋中装有4个小球,一次摸出2个,共有多少种等可能?
(2)同时抛掷两枚相同硬币一次,向上的一面有多少种等可能?
分析 (1)(2)看起来好象都是“4个中任选2个”的排列组合问题,其实它们有本质的区别.根据排列(组合)公式,4个中任选2个,共有12种排列(或6种组合).对于事件“口袋中装有4个小球,一次摸出2个”,每个可能的结果都是独立的,符合“4个中任选2个”的特征,适合直接用排列组合的结论.而“抛掷两枚相同硬币一次,向上的一面的可能性”, 不符合“4个中任选2个”的特征,因此不能直接用排列(组合)的结果来确定“等可能”的多少,但可借鉴排列组合的方法进行分析.
设两枚硬币的正反面分别用正1、正2、反1、反2表示.
用“排列”方法分析：
首先,根据排列公式,4个中任选2个,共有12种排列.
(正1,正2)、(正1,反1)、(正1,反2)、
(正2,正1)、(正2,反1)、(正2,反2)、
(反1,正1)、(反1,正2)、(反1,反2)、
(反2,正1)、(反2,正2)、(反2,反1).
其次,排除4种不符合实际的情况：
(正1,反1)、(正2,反2)、(反1,正1)、(反2,正2),还有8种排列.
最后得出结论：同时抛掷两枚相同硬币一次,向上的一面共有8种等可能.
用“组合”方法分析：
首先,根据组合公式,4个中任选2个,共有6种组合.
(正1,正2)、(正1,反1)、(正1,反2)、
(正2,反1)、(正2,反2)、(反1,反2).
其次,排除2种不符合实际的情况：(正1,反1)、(正2,反2),还有4种组合.
最后得出结论：同时抛掷两枚相同硬币一次,向上的一面共有4种等可能.
这里,出现了两种不同的结果：“同时抛掷两枚相同硬币一次,向上的一面有4种等可能结果”, “同时抛掷两枚相同硬币一次,向上的一面有8种等可能结果”.究竟是4种还是8种?可以说这两种说法都有一定的道理,但单纯谈“某一事件的所有等可能结果有多少种”并没有多大意义,它应与“在这些等可能结果中有多少种可能是符合题目要求”相结合才有意义.对于这一点,在本文案例2的阐述会更加清晰.由此看来“同时抛掷两枚相同硬币一次,向上的一面有四种可能：(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)”是从组合的角度而言的,把它说成“有(正,正)、(正,反)、(反,反)三种可能”既不是依据“排列”也不是依据“组合”,是完全错误的.2 两种列举方法——树状图、列表法
树状图和列表法都是用来列举某一事件所有可能的结果,但要根据事件的类型选择恰当的方法.
树状图：顾名思义借用树木的生长形象地表示事件发生的前后顺序.“树状图”一般表示“事件按先后顺序发生”类的问题,用“树状图”进行列举时,关键是按事件发生的先后顺序分为几个步骤,按步骤画图.对于“事件同时发生”类的问题,在不改变其本质属性的前提下,若能转化“事件按先后顺序发生”类,则也可用“树状图”表示.
列表法：由于表格的局限性,列表法适合“两个事件同时发生”或“一个事件发生先后只有两个步骤”这一类的问题.对于“三个或三个以上事件同时发生”或“一个事件发生有三个或三个以上步骤”的事件,用列表法就不能很好地列举“所有可能的结果”,而树状图就没有这些限制.
3 事件的“所有等可能结果”的两种计数方法：
在概率中,“所有等可能结果”的计数方法,可用“排列”的结果,也可用“组合”结果.
案例2 四只粽子,除内部馅料不同外其他均一切相同：一只肉馅,一只香肠馅,两只红枣馅.
(1)用画树状图法分别求出“吃两只粽子正好是一只肉馅,一只香肠馅的概率”和“吃两只粽子正好是先吃到肉馅,后吃到香肠馅的概率”;
(2)用列表法求出“吃两只粽子正好是一只肉馅,一只香肠馅的概率”.
解 (1)画树状图法