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现代教育理念认为数学理解是教学的关键，在教与学中占据重要地位。学生在学习中要尽可能有一个概念的形成过程，从本质上领悟概念，把握概念的外延。不仅灵活地掌握知识和知识间的联系，还能培养自己的创造性、策略性地运用知识的能力。课堂上，教与学是统一的，教师的指导性具有战略性，学生的积极思维具有创新性，教学相长，永无止境。

现从平均数的教学与学习中个人引发几点思考：

生活中随处都有“平均”的存在。平均亩产，平均月收入，人均分数，平均增长率等等。什么是平均呢?平均是一个整体概念。如平均亩产就是把这块地的产量称出来除以这块地的亩数就是平均亩产。它不考虑这块地的每一亩的个个产量，而是从整体上把握这块地的亩产。平均数反映的是整体的一种属性。一组数的平均数从整体上反映这组数的多少。一组数的平均数不大于该组数中的最大数，不小于该组数中的最小数，它不取极端，而走中庸之道，能基本上代表该组数。

1、我们寻找这样一个数A，使之与这组数中各数差的平方和最小，即A与该数组的偏差最小。为此引入目标函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+……+(x-an)2,寻求函数f(x)在x取何值时最小。f(x)取最小值时的x值就是我们寻求的数A。

∵f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+……+(x-an)2

=nx2–2(a1+a2+……+an)x+a12+a22+……+an2

=n(x-)2+a12+a22+……+an2-,

∴当x=时，f(x)取得最小值。

∴A=。

此时，A与数组a1,a2,……,an的偏差最小。因此，称A叫做数组a1,a2,……,an的算术平均数。特殊地，两个正数a,b的算术平均数A=。

2、几何平均数是人们较早研究的另一种平均数。黄金分割数是特殊的几何平均数。黄金分割是指在线段AB上找一点C，使AC是AB与CB的等比中项，即AB∶AC=AC∶CB，AC2=AB×CB，，设AB=a，CB=b，则AC=。数G=叫做正数a，b的几何平均数。(黄金分割数是特殊的几何平均数，黄金分割数要求b+G=a,几何平均数中a,b,G不一定满足b+G=a。)

为什么G=叫做正数a，b的几何平均数?

首先易证min{a,b}≤≤max{a,b},即也不取两个极端。我们再从几何的角度寻找一条线段，使该线段的长是已知两线段的长的比例中项。以a+b为直径AB作圆，过a,b的接点C作直径AB的垂线交圆于点D，易证CD=，即为a,b的几何平均数。

从图形上看，线段CD的长介于AC与CB之间。

3、平均数的大小

定理1：两个正数的算术平均数不小于其几何平均数，即当a,b∈R+时，，当且仅当a=b时取等号。

作为该定理，比较直观易懂，易证，从具体的正数入手，计算四个平均数并标在数轴上，由图猜想结论并做出证明。

我们运用重要不等式a,b∈R时，a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号，然后将另两个平均数也放入不等式中，形成不等式链：平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数。

定理2：当a,b∈R+时，，当且仅当a=b时取等号。

我们运用定理1证明余下的两个不等式。

对的证明，注重从形式上消除差异，左有“”，右无“”，因此左边的“”内的数要合理添变形为完全平方数。

∵=。

∴。

对于的证明，运用整体思想，消除形式上的差异，左有分母无根号，右无分母有根号，考虑倒数的倒数为原数的特点，结合已证定理解决问题。即。

4、由此发现不等式链的特点

1)当a=b时，不等式链发生突变，图形显示各数重合于一点，即各平均数相等(这在证明的过程中已有显示)。

2)该不等式链的一个显著特点是它们的次方全部相同。

3)定理存在一些变形，如，等。它们的次方也一致。

5、平均数大小的几何解释

1)教材中给出了算术平均数大于等于几何平均数的几何解释,即图形1中半径OD≥半弦CD.

很容易我们可以推出以下两种变形:

(1)去半圆得Rt△ABD,斜边上的中线OD≥

斜边上的高CD.

(2)添半圆还原为圆O,直径≥弦,即a+b≥2,

∴.

2)通过探究式发现如下几何解释:

由想到切割线定理,如图,割线ACB中,AC=a,AB=b,则切线AT=,过O作OD⊥AB于D,则AD=,∵OT≥OD(半径大于等于弦心距),AO=AO,∴AD≥AT,即.

6、通过发散性思维得出如下拓展和延伸

1)定理的延伸：

(1)设a,b,c∈R+，则，当且仅当a=b=c时取等号。

(2)设xi∈R+，i=1,2,…，n,则，当且仅当x1=x2=…=xn时取等号。

2)概念的延伸：k次幂平均数：叫做正数a,b的k次幂平均数。

7、知识挖掘：如图1-7.以C为圆心,以CA为半径作圆,交CO或其延长线于点E,连接PE,则PE=.以P为圆心,PC为半径作圆,交DO于点F,连接PF,过D作DG垂直于PF于G,由射影定理得PG=.

8、探索发现

我们通过领悟知识的形成过程,以问题带动我们探索,提高了我们的学习数学的兴趣和积极性，使我们更加热爱数学，让这门能带我们走进知识殿堂钥匙的学科更富有趣味和魅力。

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