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把循环小数化成分数的方法，可以用移动循环节的过程来推导，也可以用无限递缩等比数列的求和公式计 算得到。下面我们运用猜想验证的方法来推导。

(一)化纯循环小数为分数

大家都知道：一个有限小数可以化成分母是10、100、1000 ……的分数。那么，一个纯循环小数可以化成 分母是怎样的分数呢?我们先从简单的循环节是一位数字的纯循环小数开始。如：@①、@②……化成分数时 ，它们的分母可以写成几呢?

想一想：可能是10吗?不可能。因为1/10=0.1〈@①，3/10=0.3〉@②;可能是8吗?不可能。 因为1/ 8=0.125〉@①，3/8=0.375〉@②;那么，可能是几呢?因为1/10〈@①〈1/8，3/10〈@②〈3/8，所以分 母可能是9。 下面我们来验证一下自己的猜想：1/9=1÷9=0.111……=@①;3/9=1/3=1÷3=0.333……= @②。

计算结果说明我们的猜想是对的。那么，所有循环节是一位数字的纯循环小数都可以写成分母是9的分数吗 ?让我们根据自己的猜想， 把@③、@④化成分数后再验证一下。

@③=4/9 验证：4/9=4÷9=0.444……

@④=6/9=2/3 验证：2/3=2÷3=0.666……

经过上面的猜想和验证，我们可以得出这样的结论：循环节是一位数字的纯循环小数化成分数时，用一个 循环节组成的数作分子，用9 作分母;然后，能约分的再约分。

循环节是两位数字的纯循环小数怎样化成分数呢?如：@⑤、@⑥……化成分数时，它们的分母又可以写 成多少呢?

想一想：可能是100吗?不可能。因为12/100=0.12〈@⑤，13/100=0.13〈@⑥。可能是98吗?不可能。 因为12/98≈0.1224〉@⑤，13/98≈0.1327〉@⑥;可能是多少呢?因为12/100〈@⑤〈12/98，13/100〈@⑥ 〈13/98，所以分母可能是99。是否正确，还需验证一下。

12/99=12÷99=0.121212……=@⑤;

13/99=13÷99=0.131313……=@⑥。

验证结果说明我们的猜想是正确的。那么，所有循环节是两位数字的纯循环小数都可以写成分母是99的分 数吗?让我们再运用猜想的方法，把@⑦、@⑧化成分数后，验算一下。

@⑦=15/99=5/33，验算：5/33=5÷33=0.151515……

@⑧=18/99=2/11，验算：2/11=2÷11=0.181818……

经过这次猜想和验证，我们可以得出这样的结论：循环节是两位数字的纯循环小数化成分数时，用一个循 环节组成的数作分子，用99作分母;然后，能约分的再约分。

现在，你能推断出循环节是三位数字的纯循环小数化成分数的方法吗?

因为循环节是一位数字的纯循环小数化成分数时，用9作分母， 循环节是两位数字的纯循环小数化成分数 时，用99作分母，所以循环节是三位数字的纯循环小数化成分数时，我们猜想是用999作分母， 分子也是一个 循环节组成的数。让我们再来验证一下，如果这个猜想也是正确的，那么，我们就可以依次推下去了。

附图{图}

实验证明：我们的猜想是完全正确的。照此推下去，循环节是四位数字的纯循环小数化成分数时，就要用 9999作分母了。实践证明也是正确的。所以，纯循环小数化成分数的方法是：

用9、99、999……这样的数作分母，9 的个数与循环节的位数相同;用一个循环节所组成的数作分子;最 后能约分的要约分。

二、化混循环小数为分数

我们已经运用猜想验证的方法研究过怎样化纯循环小数为分数，再用这种方法研究一下怎样化混循环小数 为分数。

还是先从较简单的数入手，如：

附图{图}