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人教版小学实验课本《数学》第六册第144页有这样一道思考题：

“在钉子板上围图形。通过3个钉子可围几种不同的形状?通过4个钉子可以围几种不同的形状?”

(附图 {图})

对这道题，“教参”(人教版《小学数学第六册教师教学用书》)给的答案(下称“参考答案”)是：

“通过3个钉子：三角形(直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。其中可能有等腰三角形，但不可能围 出等边三角形。)

通过4个钉子：四边形(一般四边形、正方形、长方形、平行四边形等。)

以上每种图形，由于大小不同，可能会有很多，只要学生围出即可。”

下面谈一谈，笔者对上述思考题及参考答案的几点思考。

思考一 参考答案对不对?

笔者认为，参考答案是有毛病的。因为：第一，小学三年级学生还没有学习“直(锐、钝)角三角形”和 “等腰(等边)三角形”等概念(这些概念是四年级的学习内容)。因此他们是看不懂上述参考答案的。第二 、参考答案对“不同的形状”的含义有曲解之嫌。我们知道，形状相同(或不同)的图形一般是指相似(或不 相似)的图形，因此，对思考题所提“可以围几种不同的形状”的问题，就应该理解为“可以围几种不相似的 图形”。而不应该理解为“可以围几种不同类别的图形”(因为同类别的图形不一定同形状。例如，图1中的 3个三角形是同属“钝角三角形”这一类图形的，但却不相似即不同形状)。容易看出，参考答案就是这后一 种理解的产物，这样的答案是难以令人置信的。第三、对思考题所提“可以围几种不同的形状”的问题，理当 以确切的数据给予回答，但参考答案最后却以“可能会有很多”一言以蔽之，这也是不妥的。

思考二 不同形状知多少?

前述思考题是一个颇为复杂的问题。下面我们来看，通过3个钉子可以围几种不同形状即不相似的三角形 。

为叙述方便，我们把钉子板上的钉子记为点A[，ij](下标i和j分别为行序号和列序号，i=1， 2，…6，j=1，2，…，6。如点A[，32]即表示位于第三行第二列的那个钉子)，并把同行(列) 相邻两点间距离设为“1”。

可以看出，所围三角形可分为下列几类：

(Ⅰ)短边长为1的三角形

(附图 {图})

这类三角形为数甚多是显然的。我们关心的是：它们共有几种不同的形状?这可以通过寻找“代表”(每 一种形状找一个三角形充当“代表”)的途径来解决。这个寻找“代表”的工作是一项十分细致且设计性很强 的工作(要保证所寻“代表”不漏不重)。此处，我们可以取以线段A[，11]A[，21]为边、图2中 的任一加圈点“⊙”为顶点的三角形为“代表”。容易看出，这样的代表共有10个，它们是互不相似即形状 互不相同的。并且，在短边长为1的这一类三角形中，已不再存在形状不同于这10个“代表”的其它三角形 了。由此可知，这类三角形共有10种不同的形状。

(附图 {图})

在这类三角形中，不同形状的“代表”一共也能找到10个(以线段A[，21]A[，12]为边、图 3中任一加圈点“⊙”为顶点的三角形以及△A[，22]A[，41]A[，13]、△A[，22]A[ ，61]A[，13]、△A[，23]A[，51]A[，14]、△A[，24]A[，61]A[，1 5])。因此，这类三角形也有10种不同的形状。

(附图 {图})

在这类三角形中，不同形状的“代表”一共有12个(以线段A[，21]A[，13]为边、图4中任 一加圈点“⊙”为顶点的三角形以及△A[，14]A[，22]A[，51]、△A[，14]A[，22 ]A[，61]、△A[，16]A[，31]A[，24]、△A[，24]A[，41]A[，16]) 。因此，这类三角形共有12种不同的形状。

(附图 {图})

在这类三角形中，不同形状的“代表”一共有7个(以线段A[，21]A[，14]为边、图5中任一 加圈点“⊙”为顶点的三角形以及△A[，15]A[，22]A[，61]、△A[，16]A[，23] A[，51])。因此，这类三角形共有7种不同的形状。

(附图 {图})

在这类三角形中，不同形状的“代表”一共有3个(以线段)A[，31]A[，14]为边、图6中任 一加圈点“⊙”为顶点的三角形)。因此，这类三角形共3种不同的形状。

(附图 {图})

在这类三角形中，不同形状的“代表”一共也有3个(以线段A[，21]A[，15]为边、图7中任 一加圈点“⊙”为顶点的三角形)。

(Ⅶ)短边长为5的三角形

(附图 {图})

这类三角形只有一种形状，图8中的三角形是它们的“代表”。

容易看出，通过3个钉子的三角形只有上述七类。在这七类三角形中，我们一共找到了(10+10+1 2+7+3+3+1)即46个“代表”。现在的问题是：在这46个代表中，尽管“同类代表”(产生于上 述某一类三角形中的代表)的形状是互异的，但那些“不同类代表”(产生于上述某几类三角形中的代表)的 形状是否互异呢?细细审察可以发现：上述(Ⅲ)中的代表△A[，13]A[，21]A[，42]、△A [，14]A[，22]A[，51]分别与(Ⅰ)中的代表△A[，11]A[，21]A[，22]、△ A[，11]A[，21]A[，32]相似;(Ⅴ)中的代表△A[，11]A[，31]A[，63]和 (Ⅵ)中的代表△A[，15]A[，21]A[，62]均与(Ⅰ)中的代表△A[，11]A[，21] A[，22]相似。因此，就上述七类三角形之总体而言，不同形状的代表应该是(46—4)即42个。

至此即知，通过3个钉子一共可以围42种不同形状的三角形。

通过4个钉子围图形，情况会更复杂一些，此处就不细述了。

思考三 如何处置这道题

由上述讨论显而易见，将前述思考题编排在小学三年级课本中是绝对不合适的。那么，这道题究竟如何处 置为宜呢?笔者觉得，下列几点意见是值得考虑的。

(1)保持原题的文字部分，而将示意图中的点由36个改变为9个(三行三列)。将这一改编题仍旧放 在前述课本的第144页作思考题;

(2)不改变示意图，而将原题所提问题改变为“通过3(或4)个钉子可以围出哪几类三角(或四边) 形?”将这一改编题放在四年级第七册课本“练习四十一”的末尾(此时，学生刚好学习了“三角形的分类” 、一般四边形和几种特殊四边形等内容)作思考题为宜;

(3)不改变示意图，将原题中“不同的形状”之文字改变为“互不相似的图形”之文字，这一改编题( 实为原题，文字上的一点变动旨在使题意明朗而避免争议)只能编排到某些中学(甚至大学)课外读物上去才 算适宜。

 

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