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证明组合恒等式，一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等，通过一些适当的计算或化简来完成.但是，很多组合恒等式，也可直接利用组合数的意义来证明.即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一组问题的两种计算方法，由解的唯一性，即可证明组合恒等式.

例1证明Cnm=Cnm-1+Cn-1m-1.

分析：原式左端为m个元素中取n个的组合数.原式右端可看成是同一问题的另一种算法：把满足条件的组合分为两类，一类为不取某个元素a1，有Cnm-1种取法.一类为必取a1有Cn-1m-1种取法.由加法原理可知原式成立.

例2证明Cnm·Cpn=Cpm·Cn-pm-p.

分析：原式左端可看成一个班有m个人，从中选出n个人打扫卫生，在选出的n个人中，p人打扫教室，余下的n-p人打扫环境卫生的选法数.原式右端可看成直接在m人中选出p人打扫教室，在余下的m-p人中再选出n-p人打扫环境卫生.显然，两种算法计算的是同一个问题，结果当然是一致的.

以上两例虽然简单，但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的一般思路：先由恒等式中意义比较明显的一边构造一个组合问题的模型，再根据加法原理或乘法原理对另一边进行分析.若是几个数(组合数)相加的形式，可以把构造的组合问题进行适当分类，如例1，若是几个数(组合数)相乘的形式，则应进行适当的分步计算，如例2，当然，很多情况下是两者结合使用的.

例3证明Ckm+n=C0mCkn+C1mCk-1n+C2mCk-2n+…+CkmC0n，其中当p>q时Cpq=0.

证明：原式左边为m+n个元素中选k个元素的组合数.今将这m+n个元素分成两组，第一组为m个元素，剩下的n个元素为第二组，把取出的k个元素，按在第一组取出的元素个数i(i=0，1，2，…，k)进行分类，这一类的取法数为CimCk-in.于是，在m+n个元素中取k个元素的取法数又可写成?ki=0CimCk-in.故原式成立.

例4证明

Cnn+Cnn+1+Cnn+2+…+Cnn+m=Cn+1n+m+1.

证明：原式右边为m+n+1个元素中取n+1个，元素的组合数，不失一般性，可以认为是在1，2，3，…，m+n，m+n+1，共m+n+1个数中取n+1个数.将取出的n+1个数a1，a2…，an+1由小到大排列，即设a1

对于某些组合恒等式，有时其左右两边所表示的意义都不易看出，但是如果根据组合数的特点仔细分析，或对原式进行一些适当的变形，往往可以巧妙地构造一个组合问题做为模型，证明就可化难为易.

例5证明C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=n2n-1.

分析：注意，原式左端等价于C11C1n+C12C2n+…+C1nCnn，这里C1iCin可表示先在n个元素里选i个，再在这i个元素里选一个的组合数，可设一个班有n个同学，选出若干人(至少1人)组成一个代表团，并指定一人为团长.把这种选法按取到的人数i分类(i=1，2，…，n)，则选法总数即为原式左端.今换一种选法，先选团长，有n种选法，再决定剩下的n-1人是否参加，每人都有两种可能，所以团员的选法有2n-1种.即选法总数为n2n-1种.显然两种选法是一致的.

这里应注意2n的意义，并能用组合意义证明?ni=0Cin=2n.

例6证明

C1n+22C2n+32C3n+…+n2Cnn=n(n+1)2n-2.

分析：本题左边与例5左边类似，不同的是例5左边为?ni=1iCin，而本题为?ni=1i2Cin.只要在例5构造的模型中加上同时还要选一个干事，并且干事和团长可以是同一个人，即可符合原式左边.对原式右边我们可分为团长和干事是否是同一个人两类情况.若团长和干事是同一个人，则有n2n-1种选法;若团长和干事不是同一个人，则有n(n-1)2n-1种选法.所以，共有n2n-1+n(n-1)2n-2=n(n+1)2n-2种选法.

例7证明

(C1n)2+2(C2n)2+3(C3n)2+…+n(Cnn)2=nCn-12n-1.

分析：注意到(Cin)2=CinCn-in，可设一个班有n个男生与n个女生，在这2n个学生中选n个同学(至少有1名男生)组成一个代表团，并指定其中一名男生为团长，按选出的男生人数i(i=1，2，…，n)分类，这一类有iCinCn-in=i(Cin)2种选法，总的选法有?ni=1i(Cin)2种.原式右边的组合意义是明显的，即直接在n个男生中选一名团长，有n种选法，再从剩下的2n-1人中选出n-1人为团员，共有nCn-12n-1种选法.

掌握了用组合意义证明组合恒等式这种方法后，还可通过构造一个组合问题的模型，编拟组合恒等式习题.如在例5中除了要选一名团长外，还要选一名干事和一名联络员(可以兼职)便可得?ni=1i3Cin=n2(n+3)·2n-3.具体证法可参照例5与例6.又如，在例7中除了在2n个同学中选出n个团员及指定一名男生为团长外，还要有一名男生担任联络员(可以兼职)，则可得组合恒等式：?ni=1i2(Cin)2=nCn-12n-1+n(n-1)Cn-22n-2.若在例7中要求，留下的女生中再选一名负责人，则有组合恒等式?ni=1i2(Cin)2=n2Cn-12n-2.具体证明读者可自己完成.实际上习题的编拟过程就是用组合意义证明恒等式的过程.

若把恒等式中较简单的一边去掉，变为化简组合式，用此法同样能完成化简，读者可自己体会.

用组合数的意义证明组合恒等式，除了对提高学生的智力及观察分析问题的能力有帮助外，还有它独到的好处，那就是把抽象的组合数还原为实际问题，能提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能提高学生的学习兴趣.所以，老师在教学过程中适当介绍一些这方面的内容，将是大有益处的.

 

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