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摘要：
数学思维在思维科学中具有极其重要的地位，中学数学几乎无时无刻不在引导学生进行思维活动，因此作为初中数学教师就需要我们精心地设计思维训练的方案，要不失时机地对学生进行各种思维的培养，教者认为在数学思维的训练方面，要加强“发散性”训练和“收敛性”训练相结合;动静训练结合，正反训练结合，“渐进性”与“跳跃性”训练结合，“直观性”与“抽象性”训练结合。用两条腿走路对教学是大有裨益的。
关键词：
数学思维 关系 结合 训练
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初中数学教学不仅蕴含了广博精深的知识，更体现了丰富的思想和方法，是对学生进行素质教育的最佳素材，但笔者在教学中发现：在对着千变万化的习题，往往有很多同学会望而生畏，影响了他们对教学学习的兴趣和各种能力的培养，这就需要教师不断地优化教育艺术和策略来帮助学生真正地学会学习，要精心地设计思维训练的方案，要不失时机地对学生进行各种思维的培养。
一、“发散性”训练和“敛聚性”训练相结合。
创造性思维是创造力的基础，创造思维多以发散思维开始，以收敛思维告终，两种思维缺一不可，学生的学习过程是一个特殊的认知过程，经历从发散到收敛的过程，说明收敛思维能力和发散思维能力在整个思维能力中的特殊重要性，有必要把收敛思维训练与发散思维训练结合起来。
所谓发散思维是指沿着各种不同的方法去思想问题，寻求多样性解答的思维方式，它从给定的信息中产生新的信息，获得多种可能的结果。因此，在中学教学中，适当地进行发散思维训练，对于培养和发展学生思维能力，具有重要的作用。
例1：已知：如图2-1，两圆内切于点T，TA，TB分别交⊙O，⊙O’于点A，C，B，D，连结AB，CD，求证：AB∥CD。(选自黄新民书P46页)
演变1： 已知：如图2-2，两圆相交于点E，F，直线AC，BC，分别过点E，F，且交⊙O，⊙’于点A，C，B，D，连结AB，CD。求证：AB∥CD。
演变2 ： 已知：如图2-3，两圆外切于点T，直线AB，BC过点T，分别交⊙O，⊙O’于点A，D，B，C，连结AB，CD，求证：AB∥CD。
演变3：若在演变1中增加条件“AC∥BD。”则可以得出什么结论?
AC=BD，(2)AB=CD，(3)四边形ABCD是平行四边形)
开放2已知：⊙O和⊙O’相交于E，F两点，经过E，F两点分别作直线AC和BD，连结AB，CD。
问：当AC和BD满足怎样的条件时，四边形ABCD是怎样的特殊四边形?并证明所得的结论(此时，由于没有给出图形，因此可以得出各种不同的结论)。
在原问题的演变和开放的过程中，教师只是做一些提示，然后由学生自己编题，增强学生的参与感，破除学生对问题的神秘感，实现心理换位，使学生能够深刻地理解原问题的数学意义，自由地、发散地创作新问题，使学生思维的广阔性得到培养。
当然，我们在培养学生发散性思维的同时，也要注重对学生的敛聚性思维的培养，敛聚性思维主要是指从特殊到一般的思维过程，也是一个分类、概括、归纳的思维过程，敛聚性思维能力的提高，有利于学生综合运用知识进行解题
的能力提高，有利于学生综合运用知识进行解题能力的提高，故我们在章节小结或发散思维后要对学生进行敛聚性思维的培训，在强调一题多解，也要重视多题一解的训练。
例2：两个边长为1的正方形，其中一个正方形的某一个顶点位于另一个正方形的中心O，并绕O旋转。求：两个正方形重叠部分的面积。
分析：据一般情形，两个正方形重叠部分是一个不规则的四边形，不易判定其面积的大小，考虑到特殊化策略，不妨将绕O旋转的正方形置于特殊位置，比如使该正方形的边平行于以O为中心的正方形的边。
例3：如图20-5，P是等腰三角形ABC的底边BC上异于B，C两点的一个动点，过点P作BC的垂线分别交AB，BC(或其延长线)于E，F两点，AD⊥BC，垂足为D。
(1)当点P运动至D点时，E，F皆重合于A点，此时有PE+PF= AD;
(2)当点P运动点D以外的任一位置时，上述结论是否仍成立?若不成立，请说明理由;若成立，给予证明。(选自〈中考数学〉P60页)
评析：根据由特殊状态推出一般，联想到含有动点问题的几何的一思路是动中求静，找出动点的特殊位置。
二、动静结合训练
动和静是矛盾的统一，是问题的两个方面，在一定的条件下可以相互转化，真可谓是“动中有静，静中有动”“静中有动”就是通过图中有关的点、线段或部分图形的变化或运动得到许多新的图形;“动中有静”就是指有些图形通过适当的变化，数学中的某些问题如能恰当运用运动、变化的观点，用动态的思维去分析，解决问题，善于捕捉运动中相对静止的信息，在运动中分析，在变化中求解，动静结合，巧妙构思，让人回味。
例4：如图，E，F分别是正方形，ABCD的
边BC，CD上的点，且∠EAF=45°，AH⊥EF
于H点，求证：AH=BC。(选自〈中学数学教研〉P34页)
分析：从∠1+∠2=45°出发，把△ADF顺时针绕A点旋转90°至△ABO，易知O，B，E，C四点在一条直线上，证得：△OAE≌△FAE，故AH=AB=BC。
例5：操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。
探究：设A，P两点间的距离为x。
(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论;
(2)当点Q在边CD上，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域;
(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值;如果不可能，试说明理由。
三、“正面性”训练和“反面性”“逆向性”训练相结合
所谓“正面性”训练就是正确的解题思路进行下面引导，启发学生思维，这是常见的训练形式，这里不再举例赘述。
所谓“反面性”训练，是指教学为纠正某种易发生错误而设置的思维圈套故意地将学生引入岐途，然后通过分析，让学生得出正确的思路。
“逆向性”训练指的是有些例题正面难以突破，应该采用逆向思维，改变思维方式，从反面逆向思维，实现知与未知的转化。
例6：计算
老师可设计过程：原式=
乍看上去，这种解答正确无误，学生也不介意，以为这个问题已解决了，这时应告戒学生这种解法正确吗?为什么?请大家思考。
例7：已知方程(a-1)x2+(a+1)x+a/4 =0有实数根，求a的取值范围。
解：根据题意，有a-1≠0
△=(a+1)2-4(a-1)·a/4 ≥0 →a≥ -1/3 且a≠1
在解题中，涉及到方程有实数据，就形成了思维定势，当成一元二次方程求解。易忽略a-1≠0时一次方程仍有解。
例8：证明△ABC中，至少有一个内角不小于60°。
分析：如果从正面思维，将要分很多情况进行讨论：∠A、∠B、∠C中，有1个不小于60°，若考虑反面：有0个不小于60°，即∠A、∠B、∠C都小于60°，就简捷多了。设∠A、∠B、∠C都小于60°，即∠A〈60°，∠B〈60°，∠C〈60°，则∠A+∠B+∠C〈180°，与三角形中三内角和为180°矛盾。
四、“渐进性”训练与“跳跃性”相结合。
所谓“渐进性”训练，是指根据循序渐进的原则进行训练，表现在研究某一具体数学问题时，根据其难易程度，将一个复杂的思维过程有目的地分离成若干个简单的思维活动，即设计一定的思维“台阶”，让学生按台阶一个个地“爬”。
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