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课程教材研究所编写的《小学实验课本数学》的实验工作，从1986年秋开始，到1991年暑假，已经圆满结束。五年的实验取得了很大成绩，比较普遍地提高了小学数学教学质量，不仅提高了及格率，而且学生的能力得到较好的发展，培养了一些数学能力较强的优秀生;提高了学生学习数学的兴趣，为进一步学习打下了较好的基础。我们当初的一些改革设想，经过实验现在需要认真地分析和总结，一方面把好的经验加以整理，坚持下去，另一方面把不很成功的地方加以分析，找出原因，然后加以改进。我们实验获得成功的原因很多，有各地领导的支持，有教研人员深入实际的工作和指导，有教师的认真钻研和辛勤的教学实践，也有实验教材的改进。这里着重谈谈怎样在教材和教学中运用心理规律的问题。教育的基本目的是促进人的身心的全面发展，而要做到这一点，就必须考虑学生身心发展的特点，遵循学生身心发展的客观规律。学生身心发展的规律涉及到心理学的许多分支学科，而且规律是很多的。有些还在进一步探索中。这里只能选择一些对小学数学教学有重大影响的规律，结合实验教材和教学实践，谈一些体会。
一 建立比较合理的教材结构
小学数学教学实验要取得较好的效果，很重要的一点就是要建立比较合理的教材结构。而这一点与较好地运用现代教学论和心理学规律有密切的联系。什么是教材结构?目前还没有完满的定义，一般认为，一个学科的教材结构首先要反映这门学科的知识结构。而一门学科的知识结构，按照心理学家布鲁纳的说法，就是学科的基本概念、基本原理、基本方法以及它们之间的相互联系。他强调学生懂得了学科的基本结构，就可以理解和掌握整个学科的基本内容，并能够促进迁移。要搞好小学数学教学，就要弄清教给学生哪些基本概念、基本原理，它们之间的联系是怎样的。例如，从较大的范围说，掌握了整数计算法则就便于学习小数计算法则;掌握了整数运算定律，就容易推广到小数和分数。从较小的范围说，两位数除法的基本结构是用两位数除两、三位数商一位数的除法，这部分知识学好了，商多位数就没什么困难，进一步学习三位数除法也比较容易;解答一步应用题是解答两步应用题的基础，如果在解答一步应用题时合理地组织教材，重视分析数量关系和选择运算方法，教学解答两步应用题时注意与一步应用题的联系，并注意突出两步应用题的结构，学生也是不难掌握的。因此，一个学科的教材结构必须是能反映这个学科的各要素、各成分(包括知识、技能、智能、思想观点等)之间合乎规律的组织形式。
但是一个学科的教材结构，不是简单地反映这个学科的知识结构就行了，它还受着学生心理特点的制约。一个学科的基础知识要能为学生所掌握，它的组织形式必须考虑学生的认知心理特点和认知的方法，便于使学科的知识结构转化为学生的认知结构。所谓认知结构，概要地说，就是学习者在头脑中形成的知识经验和组织系统。只有当教材的结构既较好地反映学科的知识结构，又较好地适应学生的认知心理特点时，才能在学生的头脑中形成有关一个学科知识的正确的认知结构。
历史上关于小学数学教材的组织有过不同的处理。大致来说，早期的小学算术，基本上是按照成人学习算术的顺序，采取直线前进的编排方式。这对初学的儿童是比较困难的。17世纪以后，一些教育家提出教学内容的分配应与年龄阶段相适应，小学算术教材开始对整数采取圆周式(或称螺旋式)编排方式。这样就形成了整数教材编排系统的雏形，而且一直沿用到20世纪。本世纪初，以美国教育家杜威为代表提出的儿童中心论，强调教育要从儿童的兴趣出发，课程应该心理化。随后有人提倡“单元教学”，按生活单元组织教材，把算术内容分别组织在各个生活单元之内。这样编排虽然比较适合儿童的年龄特点，但是不能使学生获得系统的算术知识。针对上述编排的弊病，有的教育家提出，采用论理的组织方法与心理的组织方法不可偏废。但是强调低年级宜用心理的组织方法，高年级用论理的组织方法。60年代数学教育现代化运动，一些教育家、心理学家强调注重理解学科的基本结构，小学数学教材又改为主要按照数学的逻辑顺序来编，结果给教学带来很大困难。从历史上可以看出，小学算术(或数学)教材的结构尽管多次改变，有一点是共同的，即把数学的系统性与儿童的心理特点割裂开来。现代教学论趋向于把学科的逻辑顺序与儿童的心理发展顺序适当结合起来。这就为我们编写实验教材考虑建立合理的教材结构指明了方向。但是要贯彻好这一条原则并不是轻而易举的。安排教材时既要正确地分析每一数学知识的要素以及各要素之间的联系，又要考虑学习这一知识的儿童的年龄心理特点。例如整数和整数四则运算，长期以来根据儿童的年龄特点采用螺旋式编排，这是正确的。但是根据我国的计数制度和学生的学习心理特点，划分几个阶段更为合适，就需要认真研究。现行五年制三年级认数从万一直扩展到千亿，不仅教学多位数四则运算，而且教学四则运算的意义和定律，从数学的逻辑系统看是可以的，但是从儿童的年龄特点，特别是从三年级儿童的抽象逻辑思维发展水平还较低这一点来看，就不合适了。这也就是导致三年级学生数学成绩出现“马鞍形”的重要原因之一。为此，实验教材把三年级认数的范围先扩展到亿，理论知识只限于四则运算各部分之间的关系，而把亿以上数的认识、四则运算的意义和定律移到四年级，效果就比较好。再举一个例子，现行五年制二年级出现小数的初步认识，由于结合元、角、分的认识来讲，学生还是可以接受的。但是从数学逻辑系统性来考虑就不够理想。这样教学，学生对小数的概念不清楚，对进一步学习小数不能很好地发挥打基础的作用。实验教材把小数的初步认识后移，放在分数的初步认识之后，加强两者的联系，并且采取小步子，先教学一位小数，再教学两位小数，这样编排，既符合数学的逻辑系统性，又适合儿童的年龄特点。实验表明，这样教学，学生获得比较清楚的小数的初步概念，为进一步学习分数、小数打下较好的基础。
由此可见，建立合理的小学数学教材结构，不仅是一个数学问题，在很大程度上还是一个心理学问题，是一个如何处理好两者的关系的问题。这个关系处理得好，不仅使学生容易掌握数学基础知识，而且有助于培养能力。
二 遵循儿童的认知规律
按照一些心理学家的看法，学生的学习是认知活动，尤其是思维活动的概念化或类型化过程。人的认知活动是有它的客观规律的。如布鲁纳把人的学习分为动作的、映象的和符号的三种表现，或称三个发展阶段。加里培林则提出人的智力活动形成过程有5个阶段：1.活动(动作)的定向阶段;2.物质的(指操作)或物质化的(指模型、图解、标本等)阶段，并指出这是“完备的智力活动的源泉”;3.出声的外部言语活动阶段，即用言语表达活动，实际是形成表象;4.不出声的外部言语阶段，这是向智力水平转化的开始;5.内部言语阶段，即概括的、简化的表述。尽管这些心理学家所用的术语和划分的阶段不同，但是在认知或智力活动的顺序上有共同之点。一般可简单地概括为：动作、感知→表象→概念、规律→符号。其中对动作阶段都十分重视，特别是对儿童来说非常重要。有些儿童心理学家研究表明，早期的儿童是在动作中思考的，儿童的心理活动是在实践活动中形成的。皮亚杰的研究认为，儿童认知发展的第一阶段主要是靠感觉和动作探索周围世界。柳布林斯卡娅则指出，这种“用手思维”的形式不会随着更高级的形式，即逻辑思维的发展而消失。由此可见，这一认知规律在整个小学阶段都具有普遍性。
根据这一规律，我们在实验教材中增加了操作，加强了直观。不仅在低年级，就是在高年级遇到比较抽象难以理解的数学概念或法则，也注意利用操作。例如，教学约数和倍数这一单元，实验班老师配合教材增加了操作，收到很好的效果。不仅在教学认数和计算时，充分运用操作，就是在教学简单应用题时，也通过操作引导学生分析数量关系，确定运算方法的选择。例如，教学求两数相差多少的应用题时，让学生摆6朵红花，4朵黄花，引导学生说出红花可以分成哪两部分，理解从6朵红花红花中去掉和黄花朵数黄花同样多的部分，剩下的部分就是红花比黄花多的朵数，因此要用减法计算。由于通过操作和分析，在学生的头脑中形成关于这种应用题中较大数与较小数的数量关系的表象，理解为什么要用减法算，而不是死记应用题类型和解法公式，有效地提高了学生正确解答应用题的能力。实验班教师在实践中创造和积累了大量的有关操作的经验。例如，设计和制作合适的操作用的学具;有计划有步骤地引导学生操作，并且注意节省教学时间;根据心理学中智力活动形成的过程，表象与感知、思维的联系以及思维与语言的联系，把操作、思维与用言语表达紧密结合起来。有些教研人员和学校领导还把实验班的经验介绍到其他学校、班级，也收到了较好的效果。
三 按照学习心理学的规律呈现教材
这次编写实验教材力求在这方面有所改进，以便于教师基本上按照课本的顺序进行教学，能收到较好的教学效果。学习心理学的规律很多，实验教材中着重在以下几点力求有所体现。
(一)激发学习的动机，提高学生学习的兴趣
学习动机是直接推动学生学习的一种内部动力，是提高学习效果的重要条件。教材中如果在这方面处理得好，就便于教师更好地调动学生学习的积极性。实验教材中在这方面做了一些努力，根据教学内容的不同情况来引起学生的学习动机。例如，第三册第11页，“除法要算得又对又快，就要学会用口诀求商。”使学生明确学习的目的性。第八册开头，“我们学过计算长方形的面积，平行四边形的面积该怎样计算呢?”用提出问题的方式，激发学生的求知欲。在实验中有不少老师非常重视这一点，往往在一节课内不断地提出启发性问题，引导学生思考，充分调动学生学习数学的积极性。有的老师还总结了这方面的经验。
(二)加强算理的教学
教育心理学十分强调理解在学习知识中的作用，“只有通过理解才能迅速地占有前人的认识成果”。有的心理学家提倡有意义学习，避免机械学习，并用实验结果说明前者优于后者。实验教材比现行教材在这方面有所加强，特别是通过操作、直观加强算理的教学，比较符合儿童的年龄特点。例如，教学乘法口诀，注意通过操作使学生理解口诀的来源，而且教给学生当忘记某一句口诀时如何利用其他口诀推导出来。教学一位数除两、三位数，一方面从已学的口算引入，帮助理解笔算除法的过程，另一方面加强直观，说明每次除的是几个百或几个十，商是几个百或几个十，余下的是几个百或几个十，怎样和低级单位的数合并再除。学生明白算理就比较容易掌握除的顺序和商的位置。
(三)加强学习的反馈
反馈原理是控制论的一条重要原理，现在广泛应用到心理学。心理学家认为，加强学习的反馈是有效的教学原则之一。教育心理学上的所谓反馈，是使学生知道自己的学习结果，当然与此同时教师也获得学生学习情况的信息，以便及时采取措施，调整教学。心理学家通过实验证明，学习结果的反馈对学生的学习动机有很大的激励作用，有利于学习成绩的提高。根据这一原理，实验教材中每教学一部分新知识，都安排“做一做”练习，藉以使师生都能及时看到对新知识的理解和掌握的情况。此外还注意通过多种练习形式来加强反馈的效应。不少实验教师根据这一原理，在课堂教学中运用适当的手段，及时收集反馈信息，特别注意了解后进生掌握新知识的情况，并及时采取措施，予以补救。这样做，不仅激发了学生学习数学的积极性，而且提高了课堂教学效率。
(四)重视学习结果的保持
学习结果的保持是学习过程中的重要一环，如果边学边忘，那就一无所得。因此它是心理学家研究的重要课题之一。心理学家研究的遗忘和保持的一般规律，增进记忆与保持的效果的重要条件，对于小学数学教学有重大的指导意义。在实验教材中力求根据学习心理学的研究成果，改进编写方式。主要有以下几点：
1.重视有意义学习，加强算理教学，以便好记，记得牢。
2.加强知识的联系和对比，既促进联想，又防止混淆。实验班老师根据教材精神，也加强这方面的教学，反映效果很好，并且积累了很多好的经验。
3.每部分知识都注意按照心理学关于练习的效应的研究来安排练习，一方面适当分散练习，另一方面加强混合练习，防止单打一;并且经常带着复习已学的，而且随着学习时间的延长，复习重现的间隔也适当加大。
4.每单元最后加强整理和复习，通过整理复习使学科的知识结构更便于转化为学生的认知结构。教育心理学强调复习的合理组织，特别是把新的信息“嵌入”业已形成的认知结构之中，是保持学习效果的一个重要条件。
由于采取以上一些措施，实验班教师反映，使用实验教材，不需要过多的集中复习，只要注意平时的复习整理，即使遇到事先无准备的检测，也能取得较好的成绩。
(五)重视学习结果的评价
教育心理学十分重视学习结果的评价。按照信息论的观点，评定成绩具有反馈的功能：1.促进学生学习的进步，巩固所学的知识技能，更明确努力学习的目标;2.促进教师的教学改革，调整教师的教学工作;3.促进课程、教材的改进，这一点对我们编写实验教材来说非常重要;4.向家长、学校、行政反映情况，作为采取措施的重要依据。五年来我们坚持有计划、有目的的评价，每学年除了定期的成绩测试外，还请教师和教研员填写教材意见表，还有数学能力测试以及其他必要的专项测试，最后还请学生、教师、教研员、学校领导填写教材评价表。这些都是进行实验不可缺少的工作。我们收到评价结果的材料后，及时进行统计，并把结果反馈给各实验点，以便充分发挥其反馈功能。